תוכן עניינים הוצאת גורם משותף מסוגריים... 1 תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 1

Transcript

1 תוכן עניינים 9 אלגברה... פרק ראשון: 9 הוצאת גורם משותף מסוגריים... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 5 משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה... 5 המשוואה מהמעלה הראשונה.... פ ת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד משוואות עם שברים (נעלם במונה)... 0 משוואות עם שברים (נעלם במכנה)... שעשועי מתמטיקה... 4 מערכת המשוואות ממעלה ראשונה שיטת ההצבה שיטת החיבור....5 שיטת ההשוואה תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 8 פ תרון מערכת משוואות בשיטה גרפית... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 4 4 משוואות ממעלה שנייה תרגילים מתוקשבים - עבודה מס חיתוך של ישרים ופרבולות... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס תכונות נוספות של גרפים הפונקציות... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 7 תוכן עניינים 5

2 תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 8 7 שינוי נושא נוסחה... 8 הקש ר בין פתרון אלגברי והפתרון הגרפי... 9 המושגים: חיוביות, שליליות, קצב שינוי... פרק שני: גיאומטריה אנליטית 0 מערכת צירים ישרה תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 9 מרחק בין שתי נקודות אמצע של קטע... 4 תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 0 שיפוע של ישר שיפוע ישרים מקבילים משוואת הישר משמעות המקדמים במשוואת הישר... 0 תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 7 דוגמאות בפתרון בעיות בגיאומטריה פרק שלישי: סדרה חשבונית 8 סדרה חשבונית... 9 סכום של n האיברים הראשונים... 0 דוגמאות של פתרון בעיות... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. תוכן עניינים 6

3 רביעי: פרק טריגונומטריה סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה במשולש ישר-זווית... פתרון משולשים... מלבן ומעוין... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. פרק חמישי: סטטיסטיקה והסתברות סטטיסטיקה המושגים הבסיסיים בסטטיסטיקה... 5 הממוצע... 6 תכונות הממוצע... 7 החציון... 8 תיאור גרפי של נתונים... הסתברות 9 מ א ו ר ע... 0 הסתברות של מאורע מורכב... הטלת שתי קוביות משחק... סביבון... בדיוק, לפחות וככל היותר תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 4 תוכן עניינים 7

4 אלגברה טכניקה אלגברית 9 ביטויים הוצאת גורם משותף מסוגריים (חזרה) מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. ביטוי שמהווה סכום של חד-איברים מכונה רב-איבר. לדוגמה: 4 y 5y + הוא רב-איבר. כאשר האיברים נבדלים רק במקדם מספרי, הם נקראים איברים דומים. במילים אחרות: לאיברים דומים יש אותם המשתנים (אותיות) שמופיעים באותן חזקות. לדוגמה: y, - y, 5 y הם איברים דומים. פעולת החיבור של איברים דומים ברב-איבר נקראת כינוס איברים דומים. דוגמה: פתרון כנסו איברים דומים ברב-איבר.5a b + + 4ab a b 7 בביטוי זה שלושה סוגים של איברים דומים; נסמן אותם בקווים: 5a b + + 4ab a b 7 נקבץ את האיברים הדומים יחד (בסוגריים), ונבצע ביניהם פעולות וחיסור: 5a b + + 4ab a b 7 = (5a b a b) + 4ab + ( 7) = = a b + 4ab 5. בפתרון משוואות ומערכות המשוואות לעתים קרובות כדאי להחליף רב-איבר במכפלה של כמה ביטויים אלגבריים פשוטים יותר (שביניהם יכולים להיות גם חד-איברים). פעולה זאת מכונה פירוק רב-איבר לגורמים. דוגמה נתבונן בדו-איבר.8 y למקדמי האיברים יש מחלק משותף 7. נוציא אותו מהסוגריים: 8 y = y = 7 (4 y ) פירקנו את הדו-איבר לשני גורמים: 7 ו- 4. y

5 כאשר האיברים הם חזקות, יש לאתר את החזקה עם המעריך הקטן ביותר בין חזקות האיברים בעלי בסיס זהה. דוגמה פרקו לגורמים את הרב-איבר 4. y y בדו-איבר y 4 y הינן y ו- החזקות ביותר, לכן הגורם המשותף הוא. y נוציא אותו מהסוגריים: החזקות עם המעריכים הקטנים y 4 y = y y - y = y (y ) האיברים שבסוגריים התקבלו לאחר חילוק האיברים בגורם המשותף. y y y ו- y כאשר לחד-איברים יש כמה גורמים משותפים, אפשר להוציאם מהסוגריים יחד. דוגמה נתבונן ברב-איבר.6a b + 5b כל אחד מאיבריו אפשר להציג כמכפלת שני גורמים, שאחד מהם שווה ל- b: 6a b + 5b = b a + b 5b רואים שהגורם המשותף הוא b. נוציא אותו מהסוגריים: כלומר: b a + b 5b = b (a + 5b) 6a b + 5b = b (a + 5b) לסיכום: אם בכל איברי הרב-איבר יש אחד או כמה גורמים משותפים (מספר, משתנה או חזקה), אפשר להוציאם מחוץ לסוגריים. ניתן להוציא גורמים המשותפים מהסוגריים גם בביטויים אלגבריים המכילים יותר משני איברים. דוגמה 4 פרקו לגורמים תלת-איבר: ab + ac ad כאן לכל האיברים גורם משותף a. לכן נקבל: ab + ac ad = a(b + c d) עוד דוגמאות של הוצאת גורם משותף מהסוגריים: טכניקה אלגברית 0

6 4.5 y 0 y + 45 y -5,y,y, דוגמה 5 פרקו לגורמים את התלת-איבר (טרינום) איברי הרב-איבר הזה מכילים גורמים משותפים שונים: ועוד. תחילה נמצא את הגורם המשותף למקדמים (5, 0 ו- 45). המחלק הגדול ביותר שלהם שווה ל- 5. כל האיברים מכילים את המשתנים ו- y, כאשר מופיע בחזקות, ו- 4, לכן אפשר להוציא מהסוגריים את. המשתנה y מופיע בחזקות, ו-. לכן אפשר להוציא מהסוגריים את y. ובכן, אפשר להוציא מהסוגריים את 5 y או 5-. y אם נוציא, לדוגמה, את 5-, y נקבל: החד-איבר 5 y 0 y y = 5 y (y + y - ) גורם משותף יכול להיות גם דו-איבר, למשל: a(b + ) + b(b + ) = (b + )(a + b).a (b c) + 7(b c) דוגמה 6 פרקו לגורמים את הביטוי בסכום אלגברי זה כל מחובר מכיל גורם (c b). נוציא אותו מהסוגריים: a (b c) + 7(b c) = (b c)(a + 7).a( y) + b(y ) דוגמה 7 הפכו למכפלה את הסכום הגורמים (y ) ו- ( y) שונים זה מזה בסימן בלבד. נוציא מהסוגריים השניים את (-), ונקבל: a( y) + b(y ) = a( y) + b() ( - y) = = a( y) - b( - y) = ( y)(a b) אפשר לכתוב גם קצר יותר: a( y) + b(y ) = a( y) - b( - y) = ( y)(a b) ובכן, במקרים מסוימים אפשר להשתמש בשוויון: (a b) = - (b a) טכניקה אלגברית

7 פירוק לגורמים באמצעות הוצאת גורם משותף מאפשר במקרים מסוימים לפתור משוואות ממעלות גבוהות. + = 0 דוגמה 8 פתרו את המשוואה: באגף שמאל נוציא מהסוגריים את הגורם המשותף : + = ( + ) ( + ) = 0 קיבלנו משוואה: כדי לפתור אותה נשתמש בטענה הבאה: מכפלה של כמה גורמים שווה לאפס אם שווה לאפס לפחות אחד מהגורמים. m 8m = 0 + = 0 כלומר, מהשוויון = 0 ) + ( נובע: = 0 או נפתור את המשוואה השנייה: + = 0 =.5 תשובה:.5 = = 0, דוגמה 9 פתרו את המשוואה (המשתנה m הוא נעלם): באגף שמאל נוציא מהסוגריים את הגורמים המשותפים (m): m 8m = m (m 4) = 0 קיבלנו שתי משוואות: = 0 m ו- = 0 4.m m = 0 m = 0 נפתור אותן: m 4 = 0, m = 4, m =, m = - תשובה: למשוואהשלושה פתרונות: = 0 m =, m = -, m 4 t 5t = 0 דוגמה 0 פתרו את המשוואה (המשתנה t הוא נעלם): באגף שמאל נוציא מהסוגריים את הגורמים המשותפים ) t): t 4 5t = t (t 5).t 5 = 0 קיבלנו שתי משוואות: = 0 t ו- טכניקה אלגברית

8 t = 0 t = 0 t 5= 0, t = 5 t = 0, t = 5 נפתור אותן: תשובה: למשוואה שני פתרונות: תרגילים הוציאו את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים: 6a a א) m + n ג) ד). a 7b + 4 א) + 6 b 9a +. 9 y + 5z ג) 0 + 5y 75z ד). y y + cd + bc א) a ay ג) ד). 6pk p z yz bd b א) 9mn + 9n ג) ד).4 y y a 4 b + ab a 4 - a א) a 4 + a ג) ד).5 0 y + 4 y א) 9a b ab.6 y 4-4 y + 6 y א) 4a b + 6a b + 6ab 4.7 y + z א) ab ac + a.8 4b + 8ab a b ג) 6a a + ba ד) פרקו לגורמים: b(a + 5) c(a + 5) א) n) a(m + n) + b(m +.9 (y ) + b(y ) ג) 5) (b a(b 5) ד) n(m ) + 5m(m ) א) b) a(a b) + b(a.0 7a(c d) b(c d) ג) y) 5a( + y) 4b( + ד) א) y) a ( - y) + b ( - ג) ) a( + y ) b( + y y) a ( + y) + b ( + ד) ) (a + b ) + y(a + b. טכניקה אלגברית

9 a(b c) c(c b) א) a) c(a b) + b(b. b( y) (y ) ג) ) ( y) + b(y ד) 6(a ) + a( a) א) y) 7(y ) a(. a (m - ) + b( m) ג) a) b (a ) - c( ד) ( y) + y(y ) ( y) א) b) a(b c) + d(b c) 7(c.4 a(b ) + ( b) b( b) ג) a) (a ) + y( a) + ( ד) פרקו לגורמים: 5(a b) (a + b)(b a) א) y) ( + y)( - y) - ( +.5 a(a b) (b a) ג) y) ( + y) ( + ד) a ( + a) + a ( + a) א) ) ( ( ).6 5p (p + q) 5p(p + q) ד) m(n m) 9m (m n) ג ( פתרו את המשוואות: ג) = = 0 t + t א) = 0 ה) = 0 ) y(y y (y ) ד) = ו) = 0 t) t( t) t ( תשובות 4. - הדרכה: החליפו סימן בתוך ומחוץ לאחד מזוגות הסוגריים..5 א) -0 6 ג) 0 ד) הדרכה: הוציאו מהסוגריים את הדו-איבר כגורם משותף..7 א) = = 0, - = t t = 0, ג) - = = 0, 5.7 t = 0, t =, t = y = 0, y = ד) = 7 = 0, 4 ה) ו) טכניקה אלגברית 4

10 משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה (חזרה) המשוואה מהמעלה הראשונה. אריזה מהודרת של עט-עיפרון עולה. 7 דוגמה האריזה עצמה זולה מהעט ב-. 5 כמה עולה עט-עיפרון?. ) (5 אז האריזה עולה, נסמן את מחיר העט ב- = 7 (5 ). + על-פי נתוני הבעיה, מחיר העט והאריזה יחד הוא: 5 = 7 נפתח סוגריים: נוסיף לכל צד של השוויון 5: 5 = 7 +5 = = ולבסוף נחלץ : האות מסמנת את המספר הנעלם, או בקיצור, את = 7 (5 ) + בשוויון הנעלם. שוויון, המכיל את הנעלם המסומן באות, מכונה משוואה. הביטוי הנמצא לשמאל הסימן "=" מכונה אגף שמאל של המשוואה, הביטוי מימין לסימן השוויון מכונה אגף ימין. כל מחובר באגף שמאל או ימין מכונה איבר המשוואה..7, 5 במשוואה = 7 5 אגף שמאל הוא: אגף ימין: כאשר =, אגף שמאל של המשוואה שווה ל- 7, מכיוון ש- = 7 5 ; אגף ימין גם הוא שווה ל- 7. ובכן, כאשר = המשוואה הופכת לשוויון. מספר מכונה פתרון המשוואה. את הערך הנעלם אשר הופך את המשוואה לשוויון מכנים שורש המשוואה. לדוגמה, מספר הוא פתרון המשוואה, + = 5 מכיוון שהביטוי = 5 + הוא שוויון אמת. למשוואה יכולים להיות שניים, שלושה ויותר פתרונות. למשל: ( )( ) = 0 משוואה ממעלה ראשונה 5

11 למשוואה זו שני פתרונות: ו-, מכיוון שגם כאשר =, וגם כאשר = המשוואה הופכת לשוויון = 0 0; אולם אף ערך אחר של אינו מאפס את אגף שמאל. ( )( + 4)( 5) = 0 למשוואה: שלושה פתרונות: 4-, ו- 5. למשוואה יכולים להיות אינסוףפתרונות. לדוגמה, כל הוא פתרון המשוואה ) ( = מ, כיוון שאגף שמאל שווה לאגף ימין עבור כל ערך של. יש משוואות שאין להן פתרונות. לדוגמה, למשוואה = אגף שמאל גדול יותר מאגף ימין. אין פתרונות, מכיוון שעבור כל ערך של לפתור משוואה משמע למצוא את כל פתרונותיה או לקבוע שהם אינם קיימים. במקרים פשוטים אפשר לנחש את פתרון המשוואה. לדוגמה, אפשר לנחש שפתרון המשוואה = + הוא =. על-מנת לבדוק זאת נציב במשוואה במקום ונקבל שוויון: + = + = בסעיף הבא נראה אם למשוואה זו יש עוד פתרונות. לצערנו, הניחוש אפשרי רק במשוואות פשוטות ביותר. למשל, קשה מאוד לנחש, שהמשוואה משוואה ממעלה ראשונה הופכת לשוויון כאשר = 7. לכן חשוב ללמוד כיצד לפתור משוואות מכל סוג שהוא. לאחר תרגום משפת במשוואה מסוג: כאשר דיבור לשפת המתמטיקה, a = b בעיות מעשיות רבות מתוארות () a ו- b הם מספרים נתונים, ו- הוא נעלם ( + ) - = -

12 משוואה מסוג זה מכונה משוואה פשוטה או ממעלה ראשונה. לדוגמה, המשוואות =, -, = הינן משוואות ממעלה ראשונה. 5 = - רשמו בצורה של שוויון: א) המספר 4 גדול ב- 8 ממספר ; מה גדול פי- תרגילים מספר 4; ו- המספר 56 ג) חצי סכום המספרים 5 שווה למכפלתם.. איזה מהמספרים: או (-) הוא שורש המשוואה?. + = 6 א) -6 = 5-8 = + 4 ג) = ד)? איזה ערך של הופך את המשוואה לשוויון? ד) א) - = 5 + = 0 ג) 5 = 6 8 = 7 האם בין המספרים -, נמצא שורש המשוואה?,0 ( + ) = 4 +? 5( + ) - 4 = 4 א) - 4( ) = ג) = 0 6 7( + ) - ד) הרכיבו משוואה, שאחד משורשיה הוא מספר: -4 0 א) 5 ג) ד) מצאו מספר a כזה, שלמשוואה 4 = + a יהיה שורש: ד) = 0. א) = = ג) = ב דקו, האם למשוואה יש שורשים עבור ערך של a נתון? א) + 5, + a = כאשר = ;a, כאשר = 4.a + = + a עבור איזה ערך של a למשוואה יש שורשים?.6.7 משוואה ממעלה ראשונה 7

13 ר שמו את המשפט בצורת השוויון, ומצאו, שעבורו השוויון מתקיים:.8 ;75 המספר א) מהווה 8% מהמספר. מספר 5 מהווה 5% מהמספר 9. מ צאו, המקיים את השוויון: ( ) = 0 א) = 0 ) ( ( )( + )( ) = 0 ג) = 0 4) )( ( + ד) פת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד (חזרה). פת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם אחד מבוסס על תכונות השוויונות. נזכירכם:. השוויון ממשיך להתקיים אם מוסיפים לשני האגפים או מחסירים משני האגפים אותו מספר: אם a, = b ו- m- מספר כלשהו, a + m = b + m אז: a m = b m 7 = 7 דוגמה 7 + = = 7 אם מכפילים או מחלקים את שני אגפי השוויון בּמספר, שאינו שווה לאפס, אז השוויון ממשיך להתקיים: אם a = b ו- 0 m, אז:. a m = b m a:m = b:m 7 = 7 דוגמה 7 = 7 7: = 7: מהתכונה הראשונה נובע שכדי לקבץ את הנעלמים באגף אחד של המשוואה, ואת המספרים באגף השני, יש להוסיף לשני האגפים מספר או איבר מתאים. משוואה ממעלה ראשונה 8

14 נניח שנתונה המשוואה a = b + אנחנו מעוניינים לקבל משוואה שבה הנעלם יהיה באגף שמאל. כדי לעשות זאת נוסיף לשני האגפים של השוויון את (-): a + (-) = b + + (-) a = b בדומה לכך, נוסיף לשני האגפים את (a-), והמספרים יהיו באגף ימין: a + (-a) = b + (-a) = b a נכפיל את שני האגפים ב- :() b = a - דוגמה פ תרו את המשוואה: 5.9 = אם פתרון המשוואה, אז המשוואה הופכת לשוויון. נוסיף לשני האגפים את האיברים (5-) ו- (): 9 = = נקבל את השוויון: 4 = נכנס איברים דומים:. = נחלק את שני האגפים ב- 4, ונמצא : המסקנה: אם למשוואה יש פתרון, הוא שווה ל-. = כדי לבדוק זאת, יש להציב את התוצאה במשוואה המקורית ולבצע.5 = 5 = 4 חישובים: = 4 7 = ;9 המשוואה הפכה לשוויון, לכן = הוא אכן פתרון המשוואה. פתרון בעיה זו התבסס על תכונות המשוואות, הדומות לתכונות השוויונים: תכונה תכונה בשני אגפי המשוואה מותר להוסיף או להחסיר אתאותו מספר. את שני אגפי המשוואה מותר להכפיל או לחלק בּ מספר, שאינו שווה לאפס. באמצעות התכונות הנ"ל פותרים את המשוואה ממעלה ראשונה באופן הזה: משוואה ממעלה ראשונה 9

15 א) ג) מקבצים את האיברים המכילים את הנעלם לאגף שמאל, ואת האיברים שאינם מכילים נעלם לאגף ימין; מכנסים איברים דומים; מחלקים את שני אגפי המשוואה בּמקדם האיבר המכיל את הנעלם (אם הוא אינו שווה לאפס). דוגמה פּ תרו את המשוואה: ) + 4(.( + ) ( + ) = 5 נפשט את שני האגפים: נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים. כתוצאה נקבל: = = = = = תשובה: = הערה: במשוואה שאינה מכילה שברים עם נעלם במכנה השורש שנמצא במשוואה ולבדוק את השוויון! אין צורך את להציב משוואות עם שברים (נעלם במונה) a b = c d כאשר במשוואה ממעלה ראשונה a = b שברים, ניתן לפתור אותה בעזרת בתכונות הפרופורציה: a אם נתונה פרופורציה b = c d אז מתקיים שוויון המכפלות: a d = c d כך נהפוך משוואה עם שברים למשוואה רגילה. דוגמה 4 פּ תרו את המשוואה: = 4 5 נרכיב את המכפלות ונקבל משוואה ללא שברים: נפתור אותה: המספרים a או b או שניהם יחד הם 5 = 4, 0 = = 0 =. באופן דומה פותרים משוואה שבה הנעלם נמצא בשני האגפים. משוואה ממעלה ראשונה 0

16 - 5 דוגמה 5 פּ תרו את המשוואה: נרכיב את המכפלות ונקבל משוואה ללא שברים: ( ) = 5 ( 7) נפתח סוגריים ונקבץ את הנעלמים באגף שמאל והמספרים באגף ימין: 9 6 = = = -9, = 9 אם במשוואה יש יותר משני שברים המכילים נעלם במונה, או מלבד השברים יש גם ביטויים שלמים, צריך תחילה להרחיב את השברים למכנה משותף = - 7 = דוגמה 6 פּ תרו את המשוואה: נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף של כל השברים, כלומר 6, ונקבל משוואה ללא שברים: 5 * *6 = *6 + 6 *6 5 ( ) = 6 + ( 5) נפתח סוגריים ונכנס איברים דומים: = = + = -5 = - 5 = - 5 תשובה: משוואות עם שברים (נעלם במכנה) באופן דומה פותרים את המשוואה שבה בחלק מהשברים הנעלם נמצא במכנה: מרכיבים את המכנה המשותף של כל השברים, כופלים כל שבר בגורם המשלים את מכנהו למכנה המשותף a a ומגיעים למשוואה מהסוג או b = c b = c d לבסוף, חייבים לבדוק אם הפתרון שמצאנו מקיים את המשוואה! משוואה ממעלה ראשונה

17 הערה: השלב האחרון הוא חשוב במיוחד למשוואות שבהן הנעלם נמצא במכנה, מכיוון שאם המכנה שווה לאפס עבור ערך מסוים של הנעלם, השבר הופך לביטוי חסר משמעות מתמטית (בח"מ). כלומר, ערך זה של הנעלם איננו פתרון המשוואה! דוגמה 7 פּ תרו את המשוואה: + 5 = 7 + נקבץ את האיברים עם הנעלם באגף שמאל ואת המספרים באגף ימין: באגף שמאל, לשני השברים מכנה זהה (); נרחיב שברים באגף הימין למכנה משותף ונבצע פעולות החיסור בשני האגפים: - 7 * - 5* -5 =, *6 = 6 נרשום את המכפלות בפרופורציה שקיבלנו: -5 6 = (), משוואה ממעלה ראשונה = 0 נציב את התוצאה במשוואה המקורית ונבדוק אם השוויון מתקיים: = 7 0 +, + 5*0 = 7 + *5, = 5 0 קיבלנו שוויון אמת, לכן = 0 הוא פתרון המשוואה. הערה יכולנו לוודא שהערך שמצאנו הוא פתרון המשוואה גם בדרך אחרת: נתבונן במשוואה ונמצא את ערכי הנעלם שעבורם המכנים מתאפסים. רואים שזה קורה כאשר = 0 בלבד. - 7 = - 5 מכיוון שמצאנו ש- = 0, זהו פתרון המשוואה. דוגמה 8 פּ תרו את המשוואה: + = 9 + נרשום את המכפלה של הפרופורציה: ( + ) = 9( + ) נחסיר את הביטוי שבאגף הימין משני האגפים: ( + ) - 9( + ) = 0

18 נוציא מהסוגריים את הגורם המשותף (הדו-איבר + ): ( 9)( + ) = 0 נפתור את המשוואה שהתקבלה: 9 = 0, = 9, =, = - + = 0, = - קיבלנו שני פתרונות, - =, =, שאחד מהם -) = ( השברים: = =. + לכן הפתרון השני אינו מתאים, ו- = הוא הפתרון היחיד. מאפס את מכנה הערה יכולנו לפתור את המשוואה בדרך "קלה" יותר: אם נתון שלשני שברים שווים המכנים שווים, אז מסיקים שגם שווים המונים: = 9, =, = - אולם, בדרך זו לא היינו מבחינים בעובדה שאחד מהפתרונות מאפס את מכנה השברים. - דוגמה 9 פּ תרו את המשוואה: = נרשום את ערך הנעלם אשר מאפס את מכנה השבר: = 0, = כלומר, פתרון המשוואה חייב להיות שונה מ- :. - נרשום את המכפלה של הפרופורציה - = - 5 (או במילים אחרות: נכפיל את שני אגפי המשוואה ב ( )): = ( )( 5) נפתח את המשוואה: ( ) ( )( 5) = 0 ( - )( ( 5)) = 0, ( )(- + 5) = 0 = 0 = ; = 0 = 5 מכיוון ש-, רק = 5 הוא פתרון המשוואה. משוואה ממעלה ראשונה

19 בדוגמאות הנ"ל לכל משוואה היה פתרון אחד. אולם יכול לקרות, שלמשוואה עם נעלם אחד ממעלה ראשונה אין פתרונות בכלל, או שכל ערך של נעלם הינו פתרון המשוואה. לדוגמה: דוגמה 0 פ תרו את המשוואה: ).( + ) = ( נפשט את שני האגפים: + = + + = + נקבץ את האיברים עם הנעלם והמספרים באגפים שונים: = 0 = נכנס איברים דומים: למשוואה זו אין פתרונות, מכיוון שאגף השמאל 0 שווה לאפס עבור כל ערך של, ולכן אינו שווה ל-. תשובה: אין פתרונות. דוגמה פ תרו את המשוואה: ) + = 5.( נפשט את המשוואה: + = 5 5 = 5 השוויון האחרון מתקיים עבור כל ערך של, משמע, כל ערך של הינו פתרון המשוואה. שעשועי המתמטיקה בתחילת סעיף זה למדנו שמותר להכפיל או לחלק את שני אגפי השוויון בּמספר כלשהו, בתנאי שהוא שאינו שווה לאפס. נ ראה, אילו תוצאות נקבל אם לא נקפיד על תנאי זה. "נוכיח" שכל המספרים שווים. נניח ש- a ו- b הם שני מספרים כלשהם, כאשר a b ו- a. > b נסמן ב- c את הפרש המספרים:,a b = c אז.a = b + c נכפיל את שני האגפים של השוויון האחרון ב- (b a): משוואה ממעלה ראשונה 4

20 a(a b) = (b + c)(a b) נפתח סוגריים: a ab = ab + ac b -bc נקבץ את האיברים באגפים באופן אחר: a ab ac = ab b - bc נוציא גורמים משותפים: a(a b c) = b(a b c) נחלק את שני האגפים בגורם משותף (c a) b ונקבל: היכן טעינו? תרגילים פ תרו את המשוואה (בעל-פה): = +8 א) = 5 + ד) =.7. ג) = פ תרו את המשוואה (בעל-פה): - 9 = 8 א) = 0 - ד 4 ) - 5 = 5 ג) = 0 0!a = b ד) 4 = ד) = ג) - = ג) = פ תרו את המשוואה ( ): א) = 9 = א) = =. א) = 9-5 = +8 7 ג) 5 = 0 - ד) = א) = 5 7) + ( 5 + = 9 8) + (7 8 ג) 5y) 8y 9 (4y 5) = y (4 + ד) ) (0 + y 4 + 8y + 8 = א) = 7 6) + 7( 5( ) ( 7) + -6 = y) (y 4) + 0(5 y) (4 ג) = 9 4z) 5(8z ) 7(4z + ) + 8( משוואה ממעלה ראשונה 5

21 ( ) (5 + ) + 5( 4) = 5 5 = 6 + y + y 4 = 4 = 0 = = - = - 4 ד) א) ד) = y 7.4 = 0.05y 5.7 5(5 ) = = 0.(0.4 -.) ג) ד) א) + 5 = ג) = הראו שלמשוואה אין פתרונות: א) ד) ד) = = = ג) א) ד) א) 7 = - 5 ג) + 5 = = א) 8 - y y = y + 6 ג) = פ תרו את המשוואה והוכיחו שכל מהווה פתרון המשוואה: = = (. 0.5). = 5.9-8( ) 6.6 =.8 + ג) ד) משוואה ממעלה ראשונה 6

22 4. הרכיבו משוואה ופ תרו אותה:.7.4,6% א) אם נקטין את ב- נקבל, 0% נקבל.9.6 אם נגדיל את המספר ב- ו-. ג) מכפלת המספרים ו- 4 7 גדולה פי- מסכום המספרים = 5.8 ד) סכום המספרים ו- קטן פי- מרבע המספר. פ תרו את המשוואה, אם המספרים a ו- b א) ד) a = b 4 + b = a ג) אינם שווים לאפס: ג) b = a( ) 4 = a (b ). ה) מערכת המשוואות ממעלה ראשונה.7 = b ו) = a פ תרו משוואה בהתבסס על תכונות היחס: 0.07 א).5 = = a b = ד).5.6 דוגמה תלמיד בחר שני מספרים ואמר, שסכומם שווה ל- 0 והפרשם שווה ל- 4. האם אפשר על-פי הנתונים האלה לנחש מה המספרים? y. ואת השני באות נסמן את המספר ראשון באות על-פי נתוני הבעיה אפשר לרשום: () + y = 0 () y = 4 אם שני הביטויים הם שוויונות אמת, אז אפשר לחבר אותם (כלומר לחבר ביניהם את אגפי שמאל וימין בהתאם). נקבל שוויון אמת: = y) ( + y) + ( = 4 = 7 נפתח סוגריים ונקבל: כעת נחסיר מהשוויון () את השוויון (): ( + y) - ( y) = 0 4 משוואה ממעלה ראשונה 7

23 y = 6 y = משוואה ממעלה ראשונה 8. = 7, y =,() () תשובה: בשוויונות למשוואות; ו- בשתי האותיות המשוואות הופך את המשוואות למערכת: את מסמנות הנעלמים, וכך השוויונות הופכות אותן האותיות מסמנות את אותם הנעלמים, וזה () מכיוון שבשתי המשוואות שני הנעלמים מופיעים במעלה ראשונה, המערכת מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה. עוד דוגמה של מערכת עם שני נעלמים: ( + y) = + y (4) 5 + y = 0 נוודא ששני המספרים = ו- 5- = y הופכים כל משוואה לשוויון: לזוג המספרים קוראים פתרון המערכת (4). מכנים את + y = 0 - y = 4 ( - 5) = * + *(-5) 5* + *(-5) = 0 (; -5) פ תרון מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים הוא זוג מספרים ו- y כאלה, שהצבתם בכל אחת מן המשוואות נותנת ביטוי נכון. לפתור מערכת של משוואות משמע למצוא את כל הפתרונות או לקבוע שלמערכת אין פתרונות. ככלל, מערכת של שתי משוואות משני נעלמים נרשמת כך: a + b y = c a + b y = c כאשר c,b,a,c,b,a הם מספרים נתונים, ו- ו- y נעלמים..c = 4,b =,a =,c = 0,b =,a = לדוגמה, במערכת ():

24 תרגילים במשוואה ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש לבטא תחילה ואחר-כך את את.y =, + 0.5y = 6 : y = - + 7y = y באמצעות באמצעות y, א) = 5 y + ג) ד) 5 y = 6 מצאו ערך של (בעל-פה) המהווה שורש המשוואה כאשר האם זוג המספרים = 40, y = 0 הינו פתרון המערכת y =, = 4 (בעל-פה) המערכת בדקו, האם זוג המספרים הוא פ תרון + y = 60 - y = 0?.5 - y = 5-6y = 4 + y = 6 + y = 4 נתונה מערכת המשוואות: איזה משני זוגות המספרים מהווה את פתרון המערכת: - = y? =, א) = y = 0, + y = - y = 5 6. נתונה מערכת המשוואות: איזה משני זוגות המספרים מהווה את פתרון המערכת: -6 = y? = 6, א) = 0 y = 0, חברו מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה משני נעלמים, שפתרונה זוג המספרים האלה: = 5 y = 7, א) - = y = 4,.7 משוואה ממעלה ראשונה 9

25 - y = c 8. נתונה מערכת משוואות: + 4y = c ידוע שזוג המספרים = y =,5 מהווים את פתרון המערכת. מצאו את c ו-.c a - y = + by = 9 9. נתונה מערכת משוואות: ידוע שזוג המספרים - = y =, הם פ תרון המערכת. מצאו את הערכים של a ו- b.? - y = 4 - y = האם למערכת המשוואות יש פתרון: א) נחשו שני פתרונות של המערכת: + y = 5 + y =.0. u + v = 0 u*v = א) u + v = 7 u*v = () (), משוואה ממעלה ראשונה 0.4 שיטת ההצבה דוגמה נוסיף פ תרו את מערכת המשוואות: + y = 5 + y = 4 לשני האגפים של המשוואה השנייה, ונקבל: y = 4 y (-) במשוואה הראשונה נציב במקום מהמשוואה השנייה: את ביטויו באמצעות כפי שקיבלנו + (4 ) = = 5 - = - נפתח סוגריים: נכנס איברים דומים:

26 = משוואה ממעלה ראשונה ונקבל : נציב ערך של במשוואה,() ונמצא את : y y = 4 - = נציב את ערכי הנעלמים במערכת המקורית, ונוודא שהם אכן מהווים את פתרונה: ובכן, זוג המספרים y =, = הוא אכן פתרון המערכת (). השיטה שבה השתמשנו כדי לפתור את מערכת המשוואות ההצבה. על-פי שיטה זו: ג) ד) ג) מכונה () שיטת א) באחת ממשוואות המערכת (לא משנה, איזו) מבטאים נעלם אחד באמצעות הנעלם השני, לדוגמה, מבטאים y באמצעות ; מציבים את הביטוי שהתקבל במשוואה השנייה, ומקבלים משוואה עם נעלם אחד (בדוגמה הנ"ל הנעלם הוא- ); פותרים את המשוואה ומוצאים את הנעלם (); מציבים את הערך של שמצאנו בביטוי של y, ומוצאים את y. דוגמה פתרו מערכת המשוואות: - y = y = -5 א) מהמשוואה הראשונה מוצאים: -y = y = y = מציבים במשוואה השנייה: פותרים את המשוואה: + * = 5 * + = *( -8 + ) = = -5 9 = = 9

27 y = -8 + :y בביטוי של ( = ) ד) מציבים את התוצאה. y = -8 + * = -5 ומקבלים: תשובה: -5 = y. =, דוגמה א) פת רו את מערכת המשוואות: נכפיל כל משוואה במכנה המשותף ונפשט את משוואות המערכת: + y = - y = 8 מהמשוואה הראשונה מחלצים את : = y מציבים את הביטוי של במשוואה השנייה: ( y) y = 8 4 4y y = 8 7y = 4 y = 6 = y ג) ד) פותרים את המשוואה: מציבים את הערך של y בביטוי ומוצאים את : 6 + y = - y = -. = - 6 = 0 תשובה: = 6 y. = 0, y = 5 5y = תרגילים בטאו כל נעלם באמצעות נעלם אחר בכל משוואה: ג) = 0 y א) = 7 y + ו) ה) = 7 y + ד) = y +. y = - 5-4y = 8 משוואה ממעלה ראשונה פ תרו את מערכת המשוואות: א) ג) 5 + y = 4 = + y = + y - y = 9.

28 - 5y = 8 = -y א) ג) y = = 5 - y - y = y = y = + y = 8 א) 5 + y = y = ( - y) + 5 = ( - ) 4 - ( + y) = 4 - y - 5(0.y - ) = ( + ) + y 4( - y) -( + y) = - ( + y) א).5 + y 9 - y y = - + y = -0 א) + y + y - - y = y 4 =.6-4y - = 0 5y = 0 א) + y - 8 = 0 + 4y - 7 = שיטת החיבור דוגמה פ תרו את מערכת המשוואות ממעלה ראשונה: 7 - y = 7 () 5 + y = אם ו- y הם פתרונות המערכת, אזי המשוואות הופכות לשוויונות, ומותר לחבר את האגפים התואמים: + 7 y = y = = 60 מכאן מקבלים: = 5. משוואה ממעלה ראשונה

29 נציב את הערך של באחת ממשוואות המערכת, לדוגמה, במשוואה ונפתור אותה לגבי y: הראשונה, 7 5 y = 7 5 -y = 7 -y = -8 y = 4 נוודא שהערכים שמצאנו הם אכן פתרון המערכת: שני השוויונות נכונים. תשובה: 7*5 - *4 = 7 5*5 + *4 =. = 5, y = 4 השיטה שהשתמשנו בה מכונה שיטת החיבור האלגברי. כדי לבטל מהנעלמים, מחברים או מחסרים אגפים תואמים של משוואות המערכת. אחד דוגמה פ תרו את מערכת המשוואות: 5 + y = 9 5-4y = 8 נחסיר משוואה שנייה מהראשונה: y = y = 8 7y = מכאן מקבלים: = y. נציב ערך זה של y במשוואה השנייה: 5 + = 9 פותרים לגבי = 9 5 = 0 = 4 : תשובה: = y. = 4, מהדוגמאות הנ"ל רואים ששיטת החיבור האלגברי מתאימה למערכת שבהּ מקדמי אחד מהנעלמים שווים או נגדיים בסימנם בשתי המשוואות. אולם, גם אם תנאי זה אינו מתקיים, אפשר להשתמש בשיטת החיבור האלגברי. ניתן לכפול כל אחת משתי המשוואות בגורמים המתאימים, כדי לגרום לכך שמקדמי הנעלמים בשתי המשוואות יהיו שווים או נגדיים. משוואה ממעלה ראשונה 4

30 + y = y = דוגמה פ תרו מערכת המשוואות: נכפול את שני האגפים של המשוואה הראשונה ב-, של המשוואה השנייה - ב-, ונחסיר את המשוואה הראשונה מהשנייה: + y = y = y = 0 + 6y = y = y = 0 = -6 נציב את הערך של במשוואה הראשונה: (-6) + y = y = 0 y = 8 y = y = 4 + y = - תשובה: = 4 y. = -6, דוגמה 4 פ תרו את מערכת המשוואות: א) נשאיר את המשוואה הראשונה ללא שינוי ונכפיל את השנייה ב- 4: 4 - y = 4 + y = y = y = y = -8 משוואה ממעלה ראשונה 5 נחסיר מהמשוואה השנייה את הראשונה: 4 + 8y = y = 4 y = - y = - נציב ג) - = y במשוואה השנייה ונמצא את : + (-) = - 4 = - = תשובה: - = y. =,

31 תרגילים פ תרו את המערכת על-פי שיטת החיבור האלגברי: 5 - y = 6 7 +y = 6 א) + y = - y = y = 4-5y = 7 א) 4 + y = y = y = - + y = 8 א) 4 + y = y = y 4 = 6 + y = א) - y = 4 + y = y - 4 = y + = 0 א) + 5y - 7 = 0 - y =.5 - y = ( - ) - = y - א) + 6 y 5( + ) = ( - ) = y y + y y = y = 6 א) + - y - = y + = 4.7 ( + )(y + 5) = ( + )(y + 8) ( - )(5y + 7) = (5-6)(y + ) ( + 5)(y - ) = ( + )(y - ) ( - 4)(y + 7) = ( - )(y + 4) א).8 משוואה ממעלה ראשונה 6

32 .6 שיטת ההשוואה לפי שיטה זו מבטאים את אחד מהנעלמים באמצעות הנעלם השני בשתי המשוואות, ומשווים את אגפי הימין (המכילים רק נעלם אחד). דוגמה פ תרו את המערכת: 5 + 8y = 9 + 5y = : נפתור שתי המשוואות לגבי -8y = -8y - 9 = 5 = -5y + -5y + = נשווה את אגפי הימין של שתי המשוואות, ונקבל משוואה עם נעלם אחד: -8y = נפתור אותה: (-8y 9) = 5 (-5y + ) -4y 57 = -5y + 5 y = 7 באחד הביטויים של ונחשב את הנעלם השני: -5*7 + = = -79. = -79, y = 7 נציב y תשובה: תרגילים -5y +.5-4y = y = 9 א) פ תרו את המערכת על-פי שיטת ההשוואה: a + b = 0 a - b = y = y = 7 א) 6-5y = 8 5-7y = 0.. משוואה ממעלה ראשונה 7

33 פ תרון מערכת המשוואות בשיטה גרפית המשוואה שמכילה שני נעלמים מבטאת את הקשר ביניהם בשפה מתמטית. לדוגמה, אם מייצג את מספר שעות הנסיעה של רכב הנוסע במהירות 60 קמ"ש, ו- y את המרחק בקילומטרים שאותו עבר הרכב בּ זמן הזה, אז המשוואה y = 60 מבטאת את הקשר שבין המרחק לזמן. כפי שראינו בסעיף הקודם, גם כאשר הקשר הוא מורכב יותר, אפשר לבטא נעלם אחד באמצעות הנעלם השני. לדוגמה, מהמשוואה = 0 5y 5 + אפשר לבטא y באמצעות :.y = בעבר למדתם שכאשר לכל ערך של מתאים ערך אחד של y, אז אומרים ש- y היא פונקציה של. אחת משיטות ההגדרה של פונקציה היא הייצוג הגרפי, שבו לכל זוג ערכים של (y,) מתאימה נקודה בעלת השיעורים (y,) במערכת צירים. אוסףכל הנקודות (y,) מהווה גרף של הפונקציה. במקרה של משוואה ממעלה ראשונה הגרף הוא קו ישר. כדי לשרטט ישר, מספיק לחשב שיעורי שתי נקודות כלשהן, שדרכן הוא עובר. () לדוגמה, נעיין במשוואה = y () y = + נבטא y באמצעות : זוהי פונקציה קווית, שהגרף שלה הוא ישר. נבחר שתי נקודות כלשהן: = 0 ו- - =. נחשב את ערכי הפונקציה y: y = פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 8

34 :(, 0) גרף הפונקציה הוא ישר העובר דרך הנקודות (,0) ו- (, 0) y y = + (0, ) כעת נשרטט באותה מערכת הצירים את הגרף המתאר את המשוואה () + y = 4 נבטא את y באמצעות y = : נחשב את שיעורי שתי נקודות כלשהן, y = לדוגמה: = 0 ו- = : נשרטט את הגרף: y (0, 4) 4 y = (, 0) - 9 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה

35 מהאיור רואים ששני הישרים נפגשים. מה מייצגת נקודת המפגש? מכיוון שנקודת המפגש שייכת לשני הישרים, זוג המספרים (y,) מקיים בו-זמנית כל אחת משתי המשוואות, כלומר, הוא מהווה פתרון המערכת: - y = + y = 4 נפתור את המערכת (למשל, בשיטת החיבור) ונקבל: =, y. = ובכן, הישרים = y ו- + y = 4 נפגשים בנקודה (,). את שיעורי נקודת המפגש אפשר למצוא גם באמצעות הגרף. במקרה זה אומרים שה פ תרון נמצא בדרך גרפית. כדי לעשות זאת צריך: א) לשרטט גרפים של כל אחת ממשוואות המערכת במדויק; למצוא את שיעורי נקודת המפגש (אם הגרפים אכן נפגשים). יש לזכור שהפ תרון הגרפי, לעומת הפ תרון האלגברי, אינו מדויק. חשיבותו בנוחיות וביכולת בדיקה מהירה של הפתרון האלגברי. y דוגמה מצאו את שיעורי נקודת או נקודות המפגש של שני ישרים: פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה y = 0 ו- + y = 0 נפתור את המערכת: 7-6y = 0 + y = 0

36 נשתמש בשיטת החיבור האלגברי: 7-6y = y = 0 + y = y = 0 70 = 0 = 7 y = (7/6) 0 7/ 7* 7-6y = 0, - 6y = 0, y = 0 תשובה: נבדוק את התשובה באמצעות הפ תרון הגרפי..7 6y = 0 (, 7 ) א) בונים את גרף המשוואה. y = 7 :y נפתור לגבי 6 נחשב שיעורי שתי נקודות כלשהן: נשרטט את הנקודות במערכת צירים ונעביר דרכן את הישר: y (, 7/) ( 0, 0) -. + y = 0 4 בונים את גרף המשוואה השנייה: פתרון גרפי של מערכת נחשב את שיעורי שתי הנקודות על הגרף: נציב במשוואה = 0 ונקבל: = 0,y ;y = 5 משוואות ממעלה ראשונה - עבור הנקודה השנייה נציב = 0 y ונקבל:. = 0, = 0 Ó 0.48

37 (0,5) 5 4 y נשרטט את הנקודות במערכת צירים ונעביר גרף: y / רואים ששיעוריה של נקודת המפגש הם כמו שמצאנו בפתרון האלגברי:.y = 0.5, 0.48 קיימות שלוש אפשרויות למיקום היחסי של שני ישרים במישור: - /7 (0.48, 0) א) הישרים נפגשים, כלומר קיימת נקודה משותפת אחת. במקרה זה למערכת המשוואות, המתוארת על-ידי שני הישרים, קיים פתרון יחיד. הישרים מקבילים, כלומר הם לא נפגשים; במקרה זה למערכת המשוואות אין פתרון. ג) שני הישרים מתלכדים. במקרה זה למערכת אינסוף פתרונות. דוגמה פתרו את מערכת המשוואות: + y = 6 + 4y = 8 נכפול את המשוואה הראשונה ב- : + 4y = + 4y = 8,y אגפי השמאל של שתי המשוואות שווים עבור כל הערכים האפשריים של ו- ואגפי ימין אינם שווים; לכן למערכת אין פ תרון. תשובה: אין פתרון. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 4

38 נוודא שתוצאה זו מתקבלת גם בפת רון הגרפי: y y א) נבנה גרף של המשוואה הראשונה: = 6 y. + נחשב את שיעורי שתי הנקודות: = 0 y = 6 y = y = 0 = 6 נשרטט גרף: + y = y נבנה גרף של המשוואה השנייה: = 8 4y. + נחשב את שיעורי שתי הנקודות: = 0 4y = 8 y = y = 0 = 8 = 4 ג) נשרטט גרף במערכת הצירים שבה שרטטנו את הגרף הראשון: y + y = y = 8 - רואים שהישרים אכן מקבילים (ולכן לא נפגשים), כלומר, למערכת אין פתרון. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 4

39 דוגמה הראו שהישרים = y ו- = 6 6y מתלכדים. נתבונן במערכת של שתי המשוואות: y = 6y = 6 מכיוון שהמשוואה השנייה מתקבלת על-ידי הכפלת שני האגפים של המשוואה הראשונה ב-, שתיהן מבטאות את אותו הקשר שבין ל- y, והגרפים שלהן זהים, כלומר מהווים את אותו הישר. נשרטט אותו: א) נחשב את שיעורי שתי נקודות כלשהן.נבחר נקודות "נוחות" (כאלו, שאחד מהשיעוריםשווה לאפס): y 0 X 0 = 0 -y = y = y = 0 = : y = = 0-6y = 6 y = y = 0 = 6 = : 6y = 6 כצפוי, שיעורי שתי הנקודות עבור שני הישרים הן שוות. נשרטט גרף של המשוואות: y - 6y = y = (,y) משמעות המסקנה היא שלמערכת: יש אינסוף פתרונות: השיעורים מהווים את פ תרון המערכת. של כל נקודה השייכת לישר - y = - 6y = 6 y = 44 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה

40 מי צודק? שני תלמידים שקראו את הפרק שסיימתם זה עתה, טענו שהבינו את העיקר. תלמיד אמר: "עכשיו הבנתי מדוע למערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש במקרה הכללי פת רון אחד. זה בגלל ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת". תלמידה אמרה: "ואני זה עתה הבנתי מדוע שני ישרים נפגשים בנקודה אחת! זה בגלל שלמערכת של שתי משוואת ממעלה ראשונה עם שני נעלמים יש פ תרון אחד." מי צודק? תרגילים מ צאו את שיעורי נקודות המפגש של הישרים עם הצירים ו- y: = 0 + y א) = y ד) = y 5 + ג) = y + הערה: להזכירכם, שיעור- של כל נקודה השייכת לציר- y שווה ל- 0; שיעור- y של כל נקודה השייכת לציר שווה ל- 0.. בנו את גרף המשוואה: א) + 5 y = ג) -4 = 7 y + ה) = 0 6 y = y + ד) = 0 7 4y ו) = בנו גרפים של המשוואות y = + ו- מצאו את שיעורי נקודת המפגש של הגרפים. בדקו האם הצבת השיעורים- א) ג). + y = y ו- פ תרו את מערכות המשוואות בשיטה הגרפית (4 5): במשוואות נותנת ביטויים נכונים. ד) y = - y - = -4 y = 4 - y = y = 4 y - = y = - y = -..4 פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 45

41 + y = - y = א) + y = 5 - y =.5 + y = 6 + y = 7 ג) ד) + y = 5 - y = 5 + y = + y = = 6 + y = 4 מצאו את שיעורי נקודת המפגש של הישרים: א) ג) ד) + y = 8 - y = + y = y - = הראו שלמערכתאין פ תרון: + y = 6 = - y א) y = 6 - y = 8. הראו שלמערכת אינסוף פתרונות: - y = - y = 6 א) + y = 0 + y = 0 הראו בדרך גרפית שלמערכת פ תרון יחיד:.9 + y = 7 - y = א) + y = - y = חברו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר פתרונה שיעורי נקודת המפגש של גרף המשוואה = 7 y 4 + חברו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר פתרונה שיעורי נקודת המפגש של גרף המשוואה = 7y 5 - עם ציר.O עם ציר.O.0. חברו משוואה עם שני נעלמים ממעלה ראשונה, אשר יחד עם המשוואה = 4 y תהווה מערכת בעלת: ג) אף פת רון. א) פת רון יחיד אינסוף פת רונות. פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה 46

42 תשובות.. הדרכה: הציבו את המספר הנבדק במשוואה. 0. א) 8- ג) ד) הדרכה: פתרו את המשוואה. א) הדרכה: הציבו במשוואה את השורש הנתון ופתרו אותה לגבי a. הדרכה: הציבו במשוואה את הערך הנתון של a, ופתרו אותה לגבי., -, ג) -, 4 0, ד) 0, 0, א) 45 א) 0 א) 5 א) ג) ג) 70 ג) 5 4 ג) 0 7 ג) 4 ג) 5 ג) ד) ד) ד) ד) ד) 5 ד) ד).5 א) - א) א) -..0 א) -46 ג) 0 ד) 5. א) 5 7 ג) 6 ד) 0. - הדרכה: פשטו את המשוואות וקבלו משוואה ממעלה ראשונה. 8 ד) א) 0 8 ג) 5.5 א) 8.4 ג) 0.0 ד) 0. - a a + b a - 4 ה) ו) a - ג) ד) b +.6 א) + b b b a b a פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה

43 א... דוגמה: א) y = 5 -, = 5 y = ה. דרכה: ישנן שתי דרכים לפ תרון: לפתור את המערכת או להציב כל זוג ולבדוק. הדרכה: חברו שני ביטויים אלגבריים שהופכים לשוויונות כאשר מציבים בהם את ערכי ו- y הנתונים. 8. הדרכה: הציבו את הנתונים במערכת. אין אין הדרכה: הציבו את הנתונים במערכת וקבלו מערכת לגבי המקדמים a ו- b. הדרכה: נחשו בעצמכם. ( = 4, y = א) = y = 5, y= =, ד) - =, y = - 7 א) = y =, ג) ה) = ו) = y =, 4, y = -0 = y = -7, ג) =, y = 5 6 ה) = 5 y = 5, ו) - 65 = 9, y = - = 5, y = 5 ד) = 4 y =, - =, y = - 7 = - 5 7, y = 7 ד) = y = 5, = 8.5, y =.79 =, y = = 5, y = 4 ד) =, y = 94 א) = 6 y = 0, = - 8 9, y = ג) א) = y =, = 0, y = 0 = 8, y = 6 = 5, y = 5 ג) א) ג) ה) ד) ג) ו) = 4, y = 0 =, y = א) - = y = 5, ד) - = 7, y = פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה

44 .5 =, y = 6 =, y = 4 א) = y = 4, ג) ד) =, y = -.. א) = y =, = y =, ג) = y = -, ד) - = y = -4, =, y = 0 = 9, y = 7 =, y = 6 א) ג) ד) =, y = -. =, y = 7 = 5, y = = 4, y = 4 א) = 9 y = 8, ג) ד).4 =, y = 5 =, y = א) = y =, ג) ד) =, y = = -6, y = 0 =, y = - = -, y = א) = y =, ג) ד).6 = 5, y = א) = 8 y = 5, א) ג) - = y = 4, ד) -6 = y = 4, ג) = 0 y =, ד) = 7, y = 7 (.4, 0), (0, 6) =, y = 0.75 = 7, y = 5 =, y = א) ד) א) ה) ג) ד) ד) = 9 y =, ד) = y =, (0.5, 0), (0, ) =, y = 6 =, y = (, 0), (0, ) (-5, 0), (0, 5) א) - = y =, ג) = y =, =, y = 4 א) = y =, א) ג) ד) = 4, y = 5 ג) = y =, = 7, y = 8 =, y = -4 a = -5, b = 5 = 7, y = 4.6 = 9 4, y = פתרון גרפי של מערכת משוואות ממעלה ראשונה

45 4 משוואות ממעלה שנייה (חזרה) המשוואה הריבועית ו פתרונותיה 4. בסיס המלבן גדול מגובהו ב- 0 ס"מ; דוגמה שטחו של המלבן שווה ל- 4 סמ"ר. מצאו את גובה המלבן. נסמן את גובה המלבן ב-, אז הבסיס שווה ל (0 + ) ס"מ. שטח המלבן שווה למכפלה: (0 + ( סמ"ר. ( + 0) = 4 על-פי הנתון: + 0 = 4 נפתח סוגריים: נעביר את המספר 4 לאגף שמאל, ונקבל: = 0 זוהי משוואה שבהּ החזקה הגבוהה של הנעלם שווה ל ; היא מכונה משוואה ממעלה שנייה, או משוואה ריבועית (מכיוון שכל הבעיות על שטח הריבוע או המלבן מובילות למשוואה ממעלה שנייה). למשוואה האחרונה שני פתרונות: = ו- =. כדי לבדוק זאת נציב אותם במשוואה, ונוודא שאכן מקבלים שוויון: () + 0 () 4 = = 0 () = = 0 = מכיוון שאורך של קטע אינו שלילי, אחד מהפתרונות, אינו מתאים, והתשובה היא: =. אולם, בפתרון שהוצג למעלה לא פירטנו, כיצד פתרנו את המשוואה, כלומר, כיצד מצאנו את ערכי השורשים. דרך הפת רון של משוואה ריבועית תלויה בערכי המקדמים. במקרה הכללי (כאשר כל המקדמים אינם שווים לאפס) אפשר לרשום את המשוואה הריבועית באופן הזה: a + b + c = 0 כאשר למספרים b a, ו- c קוראים מקדמי המשוואה. משוואה ריבועית 50

46 במשוואה שקיבלנו ערכי המקדמים היו: =,a.c = -4,b = 0 למקדם c קוראים האיבר החופשי (מכיוון שהוא אינו "קשור" לנעלם. כאשר אחד או שניים מהמקדמים b ו- c שווים לאפס, המשוואה מכונה "לא מלאה". עוד דוגמאות למשוואה הריבועית: + = 0 5t 0t + = 0 5 = 0 = 0 במקרים רבים משוואה ריבועית בצורה הרגילה = 0 c a + b + מתקבלת לאחר פעולות אלגבריות, כגון: כינוס איברים דומים והעברת האיברים לאגף אחד של המשוואה. למשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות, פתרון אחד או אף אחד, פתרון בהתאם לערכי המקדמים.. = 64 דוגמה פתרו את המשוואה: נוסיף לשני אגפי המשוואה (64-) ונקבל משוואה ריבועית לא מלאה:. 64 = 0.c = -64,b = 0 64 = 0 8 = 0 = 8,a = = 8 64 נקבל: מקדמיה הם: מכיוון ש- כדי לפתור את המשוואה, יש לחשב שורש ריבועי מ- = 8 8:. ברור שהוא שווה ל- 8, ולכן = 8 הוא פתרון המשוואה. אולם למשוואה זו יש עוד פתרון אחד: מכיוון שגם = 64 (8-), = -8, = 8 נסיק שגם -8 = הוא פתרון המשוואה. לכן, למשוואה = 64 שני פתרונות: = -8 תשובה: = 8, משוואה ריבועית 5

47 , = d כאשר d הוא מספר שאינו שלילי, = - d, = d במקרה הכללי, למשוואה יש שניפתרונות: ;, = Û 4 = Û 9 לדוגמה: פתרונות המשוואה = 4 הם: 9 (0 = d), למשוואה פתרון אחד: ;, = Û למשוואה = שני פתרונות: הפתרונות הם:, = Û 8 = Û *4 = Û 4* = Û = d למשוואה = 8 כאשר במשוואה אגף ימין שווה לאפס = d למשוואה,d < 0. = 0 כאשר אין פתרונות, מכיוון שריבוע של מספר ממשי אינו יכול להיות מספר שלילי. לדוגמה, למשוואה - 5 = אין פתרונות. תרגילים (בעל-פה) - אילו מהמשוואות הבאות הן ריבועיות? א) = = ג) = ד) = = 0 ה) = ה) ו) (בעל-פה) - מנו את המקדמים והאיבר החופשי של המשוואה הריבועית: א) = = ג) ד) = = = 0 a =, b = 0, c = 9 a =, b = 0, c = 0 ו) + 5 = 0 רשמו משוואה ריבועית אם מקדמיה ידועים: א) = 4 c a =, b =, ג) = 0 c a =, b = -5, ד)... משוואה ריבועית 5

48 ( )( ) = 7( ) = ( + )( ) = 6 = 0 = 7 9 א) רשמו את המשוואה בצורה של משוואה ריבועית: ( ) = 4 ג) ( 5) = ( + ) א ילו מהמספרים ד) הם פתרונות המשוואה? = 0 -, -, 0, א) = ד) = 0 - ( + )( - ) = ג) = 0 ) + )( ( ה) = ו) (בעל-פה) - כמה פתרונות למשוואה = 6? מצאו אותם. = 9 (בעל-פה) - פתרו את המשוואה: א) = ה) ג) = 00 ו) ד) = 5 מצאו את פתרונות המשוואה: א) א) משוואה ריבועית ג) ו) = ד) = ה) = 5 4 פתרו את המשוואה: א) = 0 49 = 0 - ג) = 0 + = 0 ו) ה) = ד) 5 = 0 פתרו משוואה ריבועית על-ידי פירוק האגף השמאלי לגורמים: + 5 = = 0 = = 0 = 0 + ג) ה) = ו) - = 0 ד) = מצאו את פתרונות המשוואה בעזרת מחשבון: א) = 7. = ה) ג) ו) = = 0 = 9 6 ד) = 675 פתרו את המשוואה: ( - )( + + 4) ( 8) = 0 ( + )( - + ) ( + 4) = 0 5 א)

49 ו- = הראו שלמשוואות = 4 אותם הפתרונות. מצאו מספר חיובי b המשוואה שתיווצר: א) כזה, שאגף שמאל יהווה ריבוע הסכום או ההפרש, ופתרו את b + 9 = 0 ד) = 0 b = 0 + b + 4 = 0 ג) = 0 b פתרו את המשוואה: א) = משוואה ריבועית חלקית משוואה ריבועית = 0 c a + b + מקדמיה b או c שווה לאפס. מכונה בלתי שלמה, אם לפחות אחד משני כלומר, למשוואה ריבועית חלקית משתייכת המשוואה מאחת הצורות האלה: () () c 0 ().b 0 a = 0,a + b + c = 0,a + b = 0 a שימו לב: במשוואות () () תהיה ממעלה שנייה!). המקדם נזכירכם כיצד פותרים משוואה ריבועית חלקית. פ דוגמה תרו את המשוואה: אינו שווה לאפס (אחרת המשוואה לא 5 = 0 נחלק את שני האגפים של המשוואה ב- 5, ונקבל: = 0 = 0-7 = 0 מכאן מקבלים את התשובה: דוגמה פתרו את המשוואה: נחלק את שני האגפים של המשוואה ב-, ונקבל:, - 9 = 0 משוואה ריבועית 54

50 . = 9, = ± נוסיף לשני האגפים 9: מכאן מקבלים את התשובה: + 7 = 0 דוגמה פתרו משוואה: נוסיף לשני האגפים (7-), נחלק את שניהם ב- ונקבל: = - 7 למשוואה זו אין פתרונות, מכיוון שריבוע של כל מספר אינו יכול להיות שלילי: = 0 דוגמה 4 נפרק פתרו את המשוואה: את מהסוגריים: אגף שמאל לגורמים אלגבריים על-ידי הוצאת הגורם המשותף (- + 5) = 0 מכאן, על-פי התכונה הבסיסית של המכפלה, מקבלים את שני הפתרונות: 5 = 5-7 = = 0, = 0 = 5 פתרו את המשוואה תרגילים = 0 :(-5) א) = 0 ה) ג) = ו) 0.0 = 4 ד) = 8 9 ז) = 8 4 ח). 5 = + 5 = 0 א) = 0 7 ג). 9 + = 0 ה) = ו) ד) 4 = = = 0 א) = ג). = 5 = 8 ו ( ד) = 5 ה) משוואה ריבועית 55

51 9 - - ב ( = 5 = 5 ד ( = - 5 = א) ג) = א) + 6 = = ג) = + 8 ד) 7-5 ו - א) עבור אילו ערכים של ערכי השברים שווים? ו- א) 4 פתרו את המשוואה: ( 5) = (08 5) ( 7)( + ) + ( )( + 5) = 0 ( + )( ) ( )( 5) = 9 ( 8) (4 6) + (5 )(5 + ) = 96 S) שטח, R רדיוס המעגל). 000 מ"ר (היעזרו במחשבון). ג) ד) ריבוע של המספר שווה למספר עצמו מוכפל. מצאו את המספר. מריבוע המספר החסירו 4 וקיבלו אפס. מצאו את המספר. כמה פתרונות לבעיה זו? שטח העיגול מחושב על-פי הנוסחה S = πr מצאו את קוטר בּ מת הקרקס ששטחה שווה ל = 0 ב ( פתרו את המשוואה: - 9 א) - = 0. משוואה ריבועית 56

52 .a 0 4. פתרון משוואה ריבועית מלאה (חזרה) הנוסחה לפתרון של משוואה ריבועית מלאה: = 0 c,a + b + כאשר (), = -b Û b - 4ac a היא:.6 + -, = Û - 4*6*(-) *6.4 - = 0 = + 7 =, = - 7 = - דוגמה פתרו את המשוואה: ערכי המקדמים: - = c a = 6, b =, 4 + = 0 נשתמש בנוסחה: תשובה: דוגמה ערכי המקדמים: פתרו את המשוואה: a = 4, b = -4, c = על-פי הנוסחה ( מ) קבלים:, = 4 Û 4-4*4* = 4 Û 0 = *4 8 תשובה: = הערה: במשוואה זו שני פתרונות שווים.. - Û 49 = = Û 7 מכאן מקבלים את שני הפתרונות: = 0, = 4 Û 4-4**5 *4 =, = - דוגמה פתרו את המשוואה: ערכי המקדמים: = 5 c a =, b = -4, על-פי הנוסחה (): משוואה ריבועית 57 = 4 Û - 4 8

53 מכיוון ששורש ריבועי ממספר שלילי אינו קיים, למשוואה אין פתרון. שלוש הבעיות האחרונות מדגימות את הקשר שבין ערך הביטוי b 4ac מספר הפתרונות של המשוואה: כאשר לבין > 0 4ac,b למשוואה שני פתרונות כאשר = 0 4ac,b כאשר למשוואה פתרון אחד < 0 4ac,b למשוואה אין פתרון לביטוי b 4ac קוראים דיסקרימיננטה* ומסמנים אותה באות D: D = b 4ac באמצעות הדיסקרימיננטה אפשר לרשום את הנוסחה לפתרון של משוואה ריבועית בצורה הזאת: (), = -b Û D a את הפ תרון אם משוואה של ריבועית כדאי להתחיל מחישוב הדיסקרימיננטה: ערכהּ שלילי (0 < D), למשוואה אין פתרונות ואין טעם להשתמש בנוסחה; אם = = -b a = 0 D = b 4ac = = 9 - < 0 = 0 D, למשוואה פתרון אחד: דוגמה 4 פתרו את המשוואה: ערכי המקדמים: = 4 c ;a =, b =, חישוב הדיסקרימיננטה: תשובה: למשוואה אין פתרון. * מהמילה הלועזית - Discriminate להבדיל משוואה ריבועית 58

54 . - דוגמה 5 פתרו את המשוואה: = a =, b = -4, c = ערכי המקדמים: מכיוון שהמקדם b הוא זוגי ((-) = b), אפשר להשתמש בנוסחה (), כאשר, = Û 4 - = Û =, = :m = - תשובה: 4.4 פתרון משוואה ריבועית לא מסודרת התבוננו במשוואה שאינה רשומה בצורה מסודרת, ידועים אינם שבה כלומר,.( ) ( ) = 0 המקדמים b a, ו- c, למשל: דוגמה 6 א. יש כמה דרכים לפתור משוואות שאינן מסודרות: להשתמש בנוסחאות לכפל המקוצר או לריבוע הסכום או ההפרש: (a ± b) = a ± ab + b אחר כך לפתוח סוגריים, לכנס איברים דומים ולרשום את המשוואה בצורה מסודרת. בדוגמה הנ"ל נקבל: = 0, = 0, = 0, = ב. בדרך אחרת אפשר לנסות לפרק את הביטוי לגורמים באמצעות הוצאת גורם משותף. למשל, בדוגמה הנ"ל הגורם המשותף הוא ( ): ( )[( ) ] = 0, ( ) (-) = 0, = כאשר משוואה כוללת שברים שבהם הנעלם במכנה, במקום הנעלם לא מאפסת את המכנה. יש לבדוק שהצבת הפתרון + = 9 + דוגמה 7 משוואה ריבועית 59

55 נחסיר משני האגפים את הביטוי שבאגף ימין: = 0, = 0 אם השבר שווה לאפס, אז מונהו שווה לאפס:. 9 = 0, = 9 למשוואה הריבועית שקיבלנו שני פתרונות: - =, =, אולם אינו מתאים, מכיוון שהוא מאפס את המכנה: = =. + תשובה: = תרגילים. מצאו את ערך הדיסקרימיננטה עבור המקדמים הנתונים: a =, b = -0., c = -0.0 א) -4 = c a =, b =, ד) = 800 c a =, b = 5, ג) -45 = c a = 7, b = -6, פתרו את המשוואה הריבועית: = א) = ד) = ג) = ו) = ה) = מצאו את כל הערכים של- שעבורם הביטוי מתאפס: ג) א) ו) ה) ד) - + ח) ז) פתרו את המשוואה הריבועית: = א) = ד) = ג) = א) = ג) = = ד) = משוואה ריבועית 60.5

56 א) מצאו את מספר הפתרונות למשוואה בלי לפתור אותה: = = = = = = 6 ( + ) = 56 ( ) = 0.5(8 + ) = ג) = פתרו את המשוואה הריבועית: א) ד) = ג) = ה) ד) = ו) א) = ג) ד) ( ) = 7 ה) + 8 ( + ) = א) ו) = + + א) מצאו את הערכים שני פתרונות שונים אין פתרון כאלה, שעבורם למשוואה ג) יש פתרון אחד - 7 : - + q = 0 q א) א) שני פתרונות שונים פתרון אחד פתרו את המשוואות באמצעות הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית: = = 0 = ג) = ד) = = - 6 ד) = 0. ג) מצאו את כל הערכים,a אשר עבורם למשוואה = 0 + :a פ תחו את נוסחת פתרון המשוואה = 0 c, + m + ופתרו באמצעותה את המשוואה: א) = ג) = = ד) = משוואה ריבועית 6

57 5 חיתוך של ישרים ופרבולות 5. חיתוך של ישר עם צירי הקואורדינטות נתבונן בגרף של פונקציה ממעלה ראשונה, לדוגמה:.y = 5 הגרף הוא קו ישר שחותך את צירי הקואורדינאטות B. ו- A בשתי נקודות y ו- מהאיור רואים ששיעורי נקודות אלה הם: A = (0, -5), B = (.5, 0) נתבונן בגרף של פונקציה אחרת: + -. y = גם גרף זה חותך את שני הצירים, ושיעורי נקודות החיתוך הם: A = (0,.5), B = (.6, 0) כיצד אפשר לדעת את שיעורי הנקודות במדויק? מציאת שיעורי נקודת החיתוך עם ציר- y נתבונן בגרפים: מה שיעורי ה- של הנקודות על ציר ה- y? לדוגמה, מה שיעורי הנקודות A? מכיוון שציר- y עובר דרך ראשית הצירים, ושיעור ה- שלו שווה לאפס, שיעורי של כל הנקודות שעל הציר גם הם שווים לאפס:. A = 0 כדי לחשב את y A (שיעור ה- y של נקודת החיתוך עם ציר y), נציב ערך זה של ) A = (0 בנוסחת הפונקציה. לדוגמה, עבור הפונקציה 5 y = נקבל: y A = 0 5 = -5 חיתוכים של ישרים ופרבולות 6

58 שיטה זאת מתאימה לכל פונקציה שהיא: כדי לחשב את שיעור- y של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר- y, יש להציב בנוסחת הפונקציה f() y = אפס במקום : y A = f(0) y = - +. A = 0 דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר - y. נסמן את נקודת החיתוך עם ציר y באות A. לאור הנאמר נציב במקום את 0 בנוסחת הפונקציה ונקבל את שיעור ה- y: דוגמה מצאו את נקודת החיתוך של הישר נסמן את הנקודה באות A. כלומר, התשובה היא: עם ציר - y. - y 6 y A = -(0) + = Ó.67 - y 6 = שיעור ה- של נקודה זו שווה לאפס: = 0 A. 0 נציב ערך זה של במשוואת הישר: - y 6 = נפתור משוואה זו לגבי -y = 8, y = 8 :y, =.A = (0, 8) נפתור לגבי y: תשובה: עם ציר - y. דוגמה (מאגר, מס. 7 ב ( + y מצאו את נקודת החיתוך של הישר - - y = A = 0 y נציב ערך זה של במשוואת הישר: y 4 = y y 4 =, y 5 + y 4y + 5y =, =, 9y = 0, y = A = ( 0, 0 9 ) חיתוכים של ישרים ופרבולות 6

59 מציאת שיעורי נקודת החיתוך עם ציר- שיעורי- y של כל נקודה על ציר ה- שווים ל- 0, לכן גם שיעור ה- y של נקודת החיתוך B y = f() של גרף שווה לאפס: של פונקציה עם ציר- y B = 0 נציב ערך זה בנוסחת הפונקציה ונקבל משוואה עבור שיעור ה-. B ונקבל את המבוקש. דוגמה עם ציר-. נציב את נפתור אותה מצאו את שיעור ה- של נקודת החיתוך B של גרף הפונקציה - 5 y =,0 = 5 5 = 0, = 5, =.5 בנוסחת הפונקציה: y = 0 ונמצא את : תשובה: =.5 B הערה: בסעיף 5. רואים שבדרך דומה מוצאים גם את שיעורי נקודות החיתוך של 0?? y? 0 הפרבולה עם צירי הקואורדינאטות. א) תרגילים השלימו את טבלת הערכים ובנו גרפים של כל משוואה: + y = 6 + y = 6 y = ( ) + y = 4 ג) = y ה) ד) y = ו) מצאו את שיעורי ה- y של נקודות החיתוך עם ציר- y של הישרים: 5 + y = - 4 א) + y = 5 9 ד) = y ג) = 5 5y +.. חיתוכים של ישרים ופרבולות 64

60 מצאו את שיעורי ה- של נקודות החיתוך עם ציר- של הישרים: + 5 y = - 4 א) = 5 y 9 + ד) = y ג) = 5 5y + מצאו את שיעורי ה- y של נקודות החיתוך עם ציר- y של הישרים: ד) = 5 -y ג) = 7 y -5 = y א) = y ח) = 9 - ז) = 7 ו) -4 = ה) = מצאו את שיעורי ה- של נקודות החיתוך עם ציר- של הישרים: ד) = 5 -y ג) = 7 y -5 = y א) = y ח) = 9 - ז) = 7 ו) -4 = ה) = חיתוך של שני ישרים ישר מתואר על-ידי משוואה ממעלה ראשונה משני נעלמים, ו- y, לדוגמה: 5 + 6y = למשוואה זו אינסוף פתרונות: פתרונות המשוואה הם הזוגות של שיעורי כל הנקודות השייכות לישר. לדוגמה, הצבת שיעורי הנקודות (,6-) ו- (-,0) במקום ו- y במשוואה y (-6, ) 5 + 6y = O (0,-) נותנת ביטוי נכון: 5 (-6) + 6 = = = -6, y = (-) = 0 - = = 0, y = - שני ישרים מתוארים על-ידי מערכת של שתי כמו משוואות משני נעלמים ממעלה ראשונה, לדוגמה: -4-4y = -4 8y - 4 = 8-4y = - 4y = y = 4 + y = 6 חיתוכים של ישרים ופרבולות 65

61 y 4 למערכת מסוג זה יכולים להיות פתרון אחד, אף פתרון או אינסוף פתרונות; מפגש הישרים המתאימים למשוואות אלה נותן ביטוי גרפי לאפשרויות אלה. כאשר הישרים נפגשים קיים פת רון אחד; כאשר הם מקבילים אין פתרונות למערכת; כאשר שני הישרים מתלכדים ישאינסוף פתרונות. y 4 y אינסוף פתרונות אין פתרונות פת רון אחד כאשר למערכת פתרון אחד, מ שמע ששני הישרים המתוארים על-ידי משוואות המערכת נפגשים, והצבת שיעורי נקודת המפגש במשוואות נותנת ביטויים נכונים. -4 השיטה הגרפית מאפשרת למצוא במהירות את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים; לעומת זאת, השיטה האלגברית מאפשרת למצוא את הפ תרון המדויק של המערכת. דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: -4 = y 7 + ו- = y. + נרשום את המערכת בצורה מסודרת: 7 + y = -4 + y = נשתמש בשיטת החיבור: נכפיל את המשוואה השנייה ב-, ונחסיר אותה מהראשונה: 7 + y = -4 = y = = -6 = -. נציב במשוואה השנייה: (-) + y = y = 5 תשובה: נקודת המפגש: (5,-) y חיתוכים של ישרים ופרבולות 66

62 בדיקה גרפית: נשרטט שני ישרים במערכת צירים, החיתוך של שני הישרים: = 5 y. = -, ונמצא את שיעורי נקודת 4 - y = דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: במשוואה הראשונה נבטא את y באמצעות : y = 4 4y =, -4y = -, 4y = +, y = 4 + קיבלנו מערכת של שתי משוואות שאינן יכולות להתקיים יחד: y = 4 y = 4 + לכן, לשני הישרים המתוארים על-ידי משוואות אלה אין נקודות חיתוך (ראו גרף אמצעי בעמוד הקודם).. 8y 4 = 8 דוגמה מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים: -4 = 4y - ו- נרשום את המשוואות בצורה של מערכת: - 4 = -4 8y - 4 = 8 (-) נכפיל את שני אגפי המשוואה הראשונה ב- (-): y = 8, 8y 4 = 8 קיבלנו משוואה הזהה למשוואה השנייה של המערכת. כלומר, כל פתרון של המשוואה הראשונה הוא גם הפתרון של המשוואה השנייה, ומכיוון שיש אינסוף פתרונות המקיימים כל משוואה, יש אינסוף פתרונות למערכת ואינסוף נקודות משותפות לישרים המתארים אותה (ראו את הגרף השלישי בעמוד.(56 חיתוכים של ישרים ופרבולות 67

63 נתבונן בגרפים של הישרים הבאים (המאגר, שאלה 0 : - y = 7 = - y כדי לחשב את המרחק בין נקודת החיתוך של הישרים עם ציר ה- y, נחשב את שיעורי y של נקודות החיתוך :C ו- B B = 0, 0 - y B = 7, y B = -7 C = 0, 0 = 0 - y C, y C = 0 מרחק בין הנקודות C ו- B שווה איפוא ל- : תרגילים מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים: = y + א) = y + + y = y =. 7 4y = 4 + y = -6 ג) = 8 y + ד) - + y = מצאו את נקודת החיתוך של הישרים: א) = 0 + y 4 + 5y + 6 = 0, + = 0 y + y 8 = 0, ג) = y 4 y 6 = 0, y = 4 ו- y =. הראו ששלושת הישרים: = y, + נפגשים בנקודה אחת. חיתוכים של ישרים ופרבולות 68

64 מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים: = y א) = = y = ד) = 0 4y ג) = = -6 -y = הראו שנקודות החיתוך של שלושת הישרים: = 0 y y = 4, y = + 4, נמצאות בקודקודי המשולש, ומצאו את שיעוריהן של נקודות הקודקוד חיתוך של פרבולה עם הצירים בכיתה ט' למדתם שהגרף של פונקציה ריבועית מכונה במישור הצירים תלויים בערכי הפרמטרים b a, ו- c של הפונקציה. כך לדוגמה, אם הפונקציה רשומה בצורה - c + b + פרבולה, וצורתו ומקומו,y = a a קובע את כיוון ענפי הפרבולה, של גודלו a והמקדמים b ו- c קובעים את מקומו של הקודקוד. את "רוחבה" אזי סימן המקדם של הפרבולה, y = 0.( - ) + 4 y = -0.5(+) + מהשרטוט רואים שלעתים ענפי הפרבולה חותכים את צירי הקואורדינטות, ולעתים הם אינם חותכים אותם. חיתוכים של ישרים ופרבולות 69

65 אילו היינו יודעים את מקומן של נקודות החיתוך ושל קודקוד הפרבולה, היינו יכולים בנקל לשרטט את סקיצת הגרף. - כיצד אפשר לחשב את שיעורי נקודות החיתוך? כפי שלמדנו בסעיף 5., לכל הנקודות השייכות לציר y שיעורי ה- שווים לאפס, ולכל הנקודות השייכות לציר שיעורי ה- y שווים לאפס. לכן, אם צריך למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר y, נציב במשוואת הפרבולה = 0, ונפתור אותה לגבי y. דוגמה מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה y = נציב = 0 תשובה: עם ציר y. במשוואת הפונקציה: - y (0, ) y = =0 y = y = כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר y יש להציב במשוואת הפרבולה = 0 ולפתור אותה לגבי y. y = 0,y אם ברצוננו למצוא את נקודות החיתוך הפרבולה של עם ציר נציב במשוואת הפרבולה, ונפתור אותה לגבי. דוגמה מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה. עם ציר y = - 4 נציב = 0 y במשוואת הפונקציה: y = y=0-4 = 0 =, = 4 תשובה: 0) (4, 0), (, חיתוכים של ישרים ופרבולות 70

66 בעיה: כדי למצוא את נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר הפרבולה y = 0 יש להציב במשוואת ולפתור את המשוואה לגבי. האם תמיד חותכת פרבולה את צירי הקואורדינטות? התבוננו בגרפים שלפניכם: ממבט ראשון המתוארות באיור אין הצירים. האומנם התבוננות מספקת לטענה מתמטית? אפשר להסיק שלפרבולות נקודות חיתוך עם בגרף היא הוכחה האם היינו מגלים את נקודות החיתוך אילו היינו בודקים את הגרפים בתחומי ו- y רחבים יותר? דוגמה ננסה למצוא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה y = בשיטה האלגברית; כדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר y, נציב במשוואה = 0 : y = =0 y = ההשערה שלנו לגבי אורך הצירים אכן נכונה: אילו היינו מאריכים את ציר ה- y, היינו מגיעים לנקודת החיתוך בין הגרף לציר זה. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר. נציב :y = 0 y = y= = 0 נחשב את הדיסקרימיננטה: D = 9 4 = המסקנה: למשוואה אין פתרונות. חיתוכים של ישרים ופרבולות 7

67 זו הסיבה שבגללה אין בדוגמה זו נקודות חיתוך של הפרבולה עם ציר. נקודות החיתוך עם ציר מהוות פתרונות של המשוואה; בהעדר נקודות אין פתרונות חיתוך עם ציר. נתבונן באיור המציג את שני הגרפים מהדוגמאות הנ"ל במערכת צירים אחת: רואים שההבדל ביניהם הוא במיקום קודקוד הפרבולה: הקודקוד של פרבולה נמצא מתחת לציר, ואילו הקודקוד של פרבולה נמצא מעליו. ( יש גם פרבולות (כמו הפרבולה שהקודקוד שלהן נמצא על ציר ; במקרה זה קיימת נקודת חיתוך אחת של הפרבולה עם הציר. y = = 0 דוגמה 4 מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ציר ה- (גרף ). : ונפתור את המשוואה לגבי y נציב בנוסחת הפונקציה = 0 עם, = -6 Û 6-4*9 = - סיכום א. ב. לפרבולה תמיד יש נקודת חיתוך אחת עם ציר y. שיעור של נקודת החיתוך עם ציר y הוא: = 0. כדי למצוא את שיעור y של נקודת החיתוך עם ציר y יש להציב במשוואת הפרבולה = 0 ולפתור את המשוואה לגבי y. לפרבולה יכולות להיות שתי נקודות חיתוך עם ציר, נקודה אחת, או אף נקודה אחת. שיעורי y של נקודת החיתוך עם ציר- הם: = 0 y. כדי למצוא את שיעורי של נקודות החיתוך עם ציר יש להציב במשוואת הפרבולה = 0 y, ולפתור משוואה לגבי. חיתוכים של ישרים ופרבולות 7

68 תרגילים מצאו את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר y של הפרבולות האלה: א. y = - ב. - 4 y = - + ג. - y = - ד. + y = מצאו את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר של הפרבולות האלה: א. y = - ב. + y = - - ג y = - ד. 6 y = - -. בשרטוט מוצג גרף של הפונקציה: y = א) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- y. ג) מצאו את המרחק בין הנקודה C לראשית הצירים. ד) מצאו את המרחק בין הנקודה A לראשית הצירים.. חיתוכים של ישרים ופרבולות 7

69 4. בשרטוט מוצג גרף של הפונקציה: y y = א) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-. - A B מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- y. - ג) מצאו את המרחק בין הנקודה C לראשית - הצירים; C -4-5 ד) מצאו את המרחק בין הנקודות A ו- B חיתוך של פרבולה עם ישר פרבולה מתארת בדרך גרפית משוואה ממעלה שנייה; ישר - משוואה ממעלה ראשונה. לכן החיתוך של שני הגרפים יתאר את פ תרון המערכת של שתי המשוואות, y = לדוגמה: y = - 4 נקודת החיתוך שייכת לשתי המשוואות, לכן הצבת שיעורי ו- y במשוואות המערכת נותנת ביטויים נכונים. את מערכת המשוואות אפשר לפתור בדרך אלגברית או בדרך גרפית. של נקודה זו שימוש בשיטה הגרפית הוא נוח במיוחד, כאשר לא צריך למצוא את הפתרון המדויק, אלא רק לבדוק את עצם קיומו של פ תרון המערכת, או את מספר הפתרונות. השיטה הגרפית מאפשרת פת רון מהיר, אולם מקורב; את הפת רון המדויק אפשר לקבל באמצעות השיטה האלגברית בלבד. חיתוכים של ישרים ופרבולות 74

70 y = דוגמה מצאו את מספר הפתרונות למערכת המשוואות: y = - 4 דרך א') נפתור בדרך אלגברית; נשתמש בשיטת ההצבה: נציב y מהמשוואה הראשונה במשוואה השנייה: = - 4 / ä = - 8, = 0 D = (-7) - 4*4*8 = -9 < 0 מכיוון שהדיסקרימיננטה היא שלילית למשוואה ולמערכת אין פתרונות. דרך ב') נשרטט גרפים של שתי המשוואות: של המשוואה הראשונה על-פי כמה נקודות, ושל השנייה על-פי שתי נקודות החיתוך עם הצירים: y = 0 = 8, = 0 y = -4 מהשרטוט רואים מיד שהקווים לא נפגשים, כלומר, למערכת אין פתרונות. דוגמה y = - + 5? כמה פתרונות למערכת המשוואות: y = + 5 דרך א' הפתרון האלגברי (שיטת ההצבה: מציבים y מהמשוואה הראשונה במשוואה השנייה): = + 5, = = 0, (4-7) = 0, = 0, y = 5, = 7 4, y = 47 8 תשובה: למערכת שני פתרונות. חיתוכים של ישרים ופרבולות 75

71 דרך ב' נשרטט גרפים של שתי המשוואות : של המשוואה הראשונה על-פי כמה נקודות, ושל השנייה על-פי שתי נקודות החיתוך עם הצירים: y = 0 = 0, = 0 y = 5 מהשרטוט רואים שהגרפים נחתכים נקודות, כלומר, למערכתשני פתרונות. בשתי משתי הדוגמאות הנ"ל ראינו שישר ופרבולה יכולים להיפגש בשתי נקודות, או לא להיפגש כלל. האם הם יכולים להיפגש בנקודה אחת? מסתבר שכן! נסובב את קטע הישר העובר דרך הנקודות 0) (0, ו- 5) (0, סביב הנקודה 0) (0, עד שהקטע ישיק לפרבולה בנקודה אחת A. מצב זה מתאר מצב שבו למערכת המשוואות יש פתרון אחד. בעתיד נלמד כיצד לחשב את מקום ההשקה. תרגילים מצאו האם הפרבולה y = חותכת את הישר = 0 y, ואם כן באילו נקודות? פתרו את השאלה בשתי דרכים: בדרך אלגברית ובדרך גרפית. הראו שלישר = 4 y והפרבולה y = יש נקודה משותפת, ומצאו את שיעורי הנקודה. הראו שהפרבולה + 5 y = והישר = 0 + y + אינם נחתכים. פתרו את השאלה בדרך אלגברית ובדקו את הפת רון באמצעות גרף. חיתוכים של ישרים ופרבולות... 76

72 y + = = 4 - y = 4 + y y = -4 פתרו בדרך גרפית את מערכת המשוואות: y + + = 0 - y = 0 א) y - = 6 ד) ג) y - = 0.4 חיתוכים של ישרים ופרבולות 77

73 6 תכונות נוספות של גרפים הפונקציות תחומי חיוביות ושליליות של פונקציות תחום הערכים של, שעבורם ערכי הפונקציה y הם חיוביים, מכונה תחום חיוביות של הפונקציה. קל לאתר את תחומי החיוביות בהתבוננות בגרף הפונקציה: כל קטעי הגרף הנמצאים מעל ציר- שייכים לתחום החיוביות של הפונקציה. דוגמה נמצא את תחומי החיוביות של פונקציה קווית מסוגים שונים: א) + 4 y = - 4 y = ג) y = ד) y = נשרטט גרפים של הפונקציות, נסמן בכל גרף את חצי המישור החיובי (הנמצא מעל ציר- ), ונאתר את קטעי הגרף הנמצאים באזור זה. y = - 4 y = + 4 א) y = y = ג) ד) תכונות נוספות של גרפים 78

74 לבסוף נמצא את תחומי ה- של קטעי גרף אלה. תחום הערכים של, שעבורם ערכי הפונקציה y הם שליליים, מכונה תחום השליליות של הפונקציה. כל קטעי הגרף הנמצאים מתחת לציר- שייכים לתחום השליליות של הפונקציה, כפי שאפשר לראות מהגרפים לעיל. בדומה לכך אפשר למצוא את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציה ריבועית y = - דוגמאות א) + 4 y = - הערה את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציות אפשר אלגברית, על-ידי פת רון של אי-שוויון מתאים. דוגמה מצאו את תחום השליליות של הפונקציה:. y = + 4 תכונות נוספות של גרפים 79 נרשום את אי-השוויון: נפתור אותו: דוגמה + 4 < 0 < -4 < - מצאו את תחום החיוביות של הפונקציה:.y = א. ב. ג. נשרטט את סקיצת הגרף, על-פי השלבים שלהלן: מכיוון ש- y היא פונקציה ריבועית, הגרף הוא פרבולה; מכיוון שהמקדם a (ליד ( הוא חיובי מכוונים כלפי מעלה ("פרבולה מחייכת"); נמצא את נקודות החיתוך עם הצירים: ) (שווה ל- = 0 y = = נסיק למצוא גם בדרך שענפי הפרבולה

75 y = 0 ד. 4 Û 6-4*, = = 4 Û 4 = 4 Û, =, = נמצא את שיעורי הקודקוד של הפרבולה על-פי הנוסחאות האלה: o = - b a, y o = c - b 4a :(a =, b = -4, c = ) תכונות נוספות של גרפים 80 ה. נציב את הנתונים נשרטט את סקיצת הגרף על-פי ארבע הנקודות ( < < ) שמצאנו: נתבונן בגרף ששרטטנו: רואים שבתחום שבין הנקודות A ו- B ערכי הפונקציה שליליים (0 < y), ומחוץ לתחום זה.y = - 9 O = - -4 * =, y O = - 6 4* = הם חיוביים. ( או < > ) דוגמה (המאגר, שאלה מס. 5) א. מצאו את תחום החיוביות של הפרבולה: נשרטט את סקיצת הגרף על-פי השלבים הבאים: נמצא את נקודות החיתוך בין הפרבולה לציר y: = 0, y = 0-9 = -9 ב. נמצא את נקודות החיתוך בין הפרבולה לציר : y = 0, - 9 = 0, =, = - ג. = a, לכן ענפי הפרבולה מכוננים כלפי מעלה. מהתבוננות החיוביות: בסקיצת הגרף מגלים את תחומי < -, >

76 תרגילים. מצאו באמצעות הגרפים את תחומי החיוביות של הפונקציות: y = - y = - + y = - y y 4 y ג) א) y = y = y = y y y ו) ה) ד) y = + מצאו באמצעות הגרפים את תחומי השליליות של הפונקציות: y = - + y = -. y תכונות נוספות של גרפים 8 א) y = - 4 (-) ג) y = - 4 (+) + y = 4 (+) +

77 ד) ה) תחומי העלייה והירידה ו) תחום הערכים של, שבו ערכי הפונקציה y הולכים וגד לים כאשר גדלים ערכי-, מכונה תחום העלייה של הפונקציה,y() ואילו תחום הערכים של, שבו ערכי הפונקציה y הולכים וקט נים כאשר ערכי גד לים, מכונה תחום הירידה. כך בשרטוט א ערכי הפונקציה גדלים מ- - = y עד ל- + = y כאשר ערכי גדלים מ- - = עד ל- +4 =. לכן בתחום A < < B הפונקציה עולה, ואילו בשרטוט ב בקטע AB הפונקציה יורדת. א) קובעים את תחומי העלייה לכך בדומה מהגרף והירידה של פונקציה ריבועית: רואים שבתחום,A < < B כאשר B הוא שיעור- של קודקוד הפרבולה, הפונקציה יורדת, ובתחום B < < C הפונקציה עולה. תכונות נוספות של גרפים 8

78 y = -0.(-) +4 הערה פונקציה קווית y = a + b עולה או יורדת בכל התחום < < - בהתאם לסימן המקדם a: כאשר a הוא חיובי הפונקציה עולה, וכאשר הוא שלילי הפונקציה יורדת. לעומת זאת, בפונקציה ריבועית תחומי העלייה והירידה מתקיימים יחד תמיד, והם מתחלפים בנקודת הקודקוד של הפרבולה. בדוגמה שבגרףמשמאל, הפונקציה הקווית y = יורדת בכל תחום (מכיוון שהמקדם < =,(a ואילו הפונקציה הריבועית ) ( y = עולה בתחום < < - ויורדת בתחום < <. הערה אין קשר בין תחומי העלייה הירידה ותחומי החיוביות או או השליליות של הפונקציה: בתחום לרדת יכולה הפונקציה בתחום לעלות או החיוביות להיות שלילית בתחום השליליות, העלייה, או חיובית בתחום הירידה וכד'. מצאו עבור אילו ערכים של לשתי דוגמה הפונקציות יש: אותו תחום עלייה; א) אותו תחום ירידה; אותו תחום חיוביות; ג) אותו תחום שליליות. ד) הפונקציה הקווית יורדת בכל תחום המספרים; לכן לא קיים תחום שבו שתי הפונקציות עולות. א) תכונות נוספות של גרפים 8

79 הפרבולה יורדת בתחום < < B ;- לכן זה התחום שבו שתי הפונקציות יורדות: (B, -). ג) הפונקציה הקווית חיובית בתחום (D, -); הפונקציה הריבועית חיובית בשני תחומים: (A, -) ו- (,C). לכן תחומי החיוביות המשותפים הם: (A, -) ו- (D,C). ד) הפונקציה הקווית היא שלילית בתחום (,D). בתחום זה הפונקציה הריבועית היא שלילית. לכן אין תחום שבו שתי הפונקציות הן שליליות. דוגמה (המאגר, שאלה מס. 6) נתונים פרבולה שמשוואתה y = - וישר שמשוואתו = y. + א. מצאו את נקודת החיתוך בין הפרבולה לישר. ב. האם הישר הנתון עולה או יורד? ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה הנתונה. ד. מצאו את נקודת החיתוך של הישר הנתון עם ציר ה-. ה. מצאו את תחום השליליות של הישר. א. נפתור את מערכת המשוואות: במשוואה השנייה נבטא y באמצעות : נשווה את אגפי הימין ונקבל משוואה ריבועית: =, = 0 נפתור אותה: y = - + y = y = - y = - -() Û + 4**, = = Û 5 * 4 =.5, = נציב את ערכי במשוואה השנייה ונמצא את ערכי y המתאימים: =.5, y = -.5 = 0 (.5, 0) = Û 5 4 תכונות נוספות של גרפים 84

80 =, y = - () = 5 (, 5),(y = - + ) a ב. מכיוון שהמקדם במשוואת הישר הוא שלילי מסיקים שהישר יורד. ג. נשרטט את סקיצת הגרף של הפרבולה. מכיוון שהמקדם a במשוואת הפרבולה הוא,(y = - חיובי ( מסיקים שענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. נמצא את שיעור של קודקוד הפרבולה O: O = - b a = - *(-) = 4 = 0.75 מהגרף רואים שמימין לקודקוד (0.75 > ) ( < 0.75) הפרבולה עולה, ומשמאלו הפרבולה יורדת..y = 0 ד. על ציר ה- מתקיים: נציב במשוואת הישר ונחלץ את : - + = 0, =, =.5 תשובה: =.5 A. ה. מהגרף רואים שמימין מנקודת A ערכי y של נקודות הישר הם שליליים. תשובה: >.5. תכונות נוספות של גרפים 85

81 y = - תרגילים מצאו באמצעות הגרפים את תחומי הירידה של הפונקציות: y = y = - 5. א) ג) y = -0.(-) + 4 y = -0.(+) y = 0.5(-) + ו) y = ה) ד) מצאו באמצעות הגרפים את תחומי העלייה של הפונקציות: y = - 4 y = 5 y y א) ג) תכונות נוספות של גרפים 86

82 y = + y = - y y = ד) ה) ו) תשובות ד) = y ג) = y = 5 y 5.. א) = y ד) = ג) = 5 = 0/. א) 8/5 = ד) -5/ = y ג) = 7/ y -5 = y א) = y.4 ח) אין ז) אין ו) אין ה) אין ד) אין ג) אין אין 5. א) אין ח) - = ז) = 7/ ו) -4 = ה) = תכונות נוספות של גרפים 87

83 ד) 0) (-, 5. ג) 4) (0, -) (5,. א) ) (0, (, - ). א) -) (, 4) (, ג). הדרכה: מצאו את נקודת החיתוך של שניים מבין שלושת הישרים, ובדקו האם היא שייכת גם לישר השלישי. /) (6, א) ) (,.4 ד) 0) (6, ג) ) (0, 0) (-, 4), (0, 0), (, (ראו שרטוט משמאל).5 5. (0, ) (0, -) (0, -) א) 0) (0, ג) ד). (, 0) (, 0), (-, 0) א) 0) (, (0,0), ד) ג) אין. 4 y = 4 א) - = ד) ג). 4-5 = y ג) 5 א) = 5 =, ד).4 =, y =. 5.4 (6, 4),. ( 8, 6 9 ). תכונות נוספות של גרפים 88

84 y 4. א) =-5, y = =, y = =0, y =4 =, y = =-, y =- 9 ג) =0, y =0 y =0, y =-4 ד) =6, y = תכונות נוספות של גרפים 89

85 6 <. א) >.5 ה) קבוצה ריקה ד) > 5 <, >.5. א) < < - ה) < < - ד) קבוצה ריקה < < -. א) קבוצה ריקה ה) > ד) < < - < < -.4 א) קבוצה ריקה ה) < 0 ד) > 0.8 < -., ג) קבוצה ריקה ו) < < - ג) -6 < ו) > 0 < -4, ג) קבוצה ריקה ו) > ג) קבוצה ריקה ו) > 0 תכונות נוספות של גרפים 90

86 7 שינוי נושא נוסחה פתרון שאלות מילוליות רבות מבוסס על ה"תרגום" המתמטיקה נעלמים, נוסחאות ומשוואות. משפת דיבור לשפת בחירת הנעלם שלגביו יש לחבר ולפתור את המשוואה המתאימה לנתוני הבעיה, היא משימה שעלולה להשתנות במהלך פתרון הבעיה. לדוגמה, נפתור את בעיית דרך פשוטה: דוגמה מרחק בין שתי ערים שווה ל- 0 ק"מ. כמה זמן ייקח למכונית לעבור את המרחק, 80 קמ"ש? אם היא נוסעת במהירות של נרשום את הנוסחה לחישוב המהירות ואת הנתונים: t =?,v = 80 km/h, S = 0 km t =, נסמן את הנעלם ב- : נפתור את המשוואה: נציב את הנתונים: v = S דוגמה מרחק בין שתי ערים שווה ל- 0 ק"מ. שעה באיזו מהירות צריכה לנסוע מכונית, כדי לעבור את המרחק ב- שעות? משתמשים באותה נוסחה, הקושרת את המרחק, זמן ומהירות: אולם הפעם הנעלם הוא המהירות v. מכיוון שהנוסחה כבר נותנת ביטוי למהירות באמצעות בנוסחה ונקבל תשובה: (קמ"ש), S ו- t, נציב אותם שינוי נושא הנוסחה 9

87 דוגמה מכונית הנוסעת במהירות של 90 קמ"ש עוברת מרחק בין שתי ערים.5 ש'. מה המרחק בין הערים? S; אולם הפעם הנעלם הוא המרחק, משתמשים באותה נוסחה: נסמן אותו באות, ונקבל משוואה המכילה את נעלם במונה: ב- נכפיל את שני האגפים ב-. = vt t: נציב נתונים: (km). = 90.5 = 5 מהדוגמאות הנ"ל רוא ם,י שבנוסחה הקושרת כמה ערכים יכול לשמש כנתון בבעיה אחת, וכנעלם בבעיה אחרת. (משתנים), כל משתנה כאשר המשתנה הוא נעלם, מבטאים אותו באמצעות משתנים אחרים. אנו פותרים את הבעיה לגביו, או מחלצים אותו, או כדי להמחיש, איזה משתנה בנוסחה הוא הנעלם, אפשר לסמנו באמצעות האות, לפתור את המשוואה שנוצרה לגבי, ולבסוף להחזיר את סימון המשתנה למקורי. הדוגמאות הבאות הן מתחום ההנדסה: b דוגמה 4 בטרפז נתונים בסיסים: ושטח:. S = 0 cm מה גובה הטרפז?H a = 8 cm, b = cm H a נרשום את הנוסחה לשטח של טרפז: נסמן את הנעלם H באמצעות האות, ונקבל משוואה לגבי :. ; זאת משוואה ממעלה ראשונה, מהצורה ;a = b פ תרונה: במקרה שלנו : נחזור לסימון המקורי ונציב נתונים: שינוי נושא הנוסחה 9

88 בטרפז נתונים: בסיס,a = 8 cm שטח 0 cm שינוי נושא הנוסחה 9 דוגמה 5 מה אורך הבסיס b? וגובה. H = 4 cm נרשום נוסחת השטח של טרפז: נסמן באות את הנעלם (הבסיס b), וקבל: כדי לפתור את המשוואה לגבי, נכפיל את שני האגפים ב- : S = (a + ) H S = a H + H H = S - a H נחזיר את שם הנעלם המקורי ונציב נתונים: דוגמה 5 מחיר המוצר על-פי המחירון הוא a; מחירו לאחר ההתייקרות של %P הוא b. הקשר בין a ל- b ניתן על-ידי הנוסחה: א) נתון: מחיר לאחר ההתייקרות ש"ח = 00 b, שיעור ההתייקרות 0%; מה מחיר המוצר לפני ההתייקרות? נתון: מחיר מחירון 00 ש"ח, מחיר לאחר ההתייקרות 0 ש"ח; מה שיעור ההתייקרות? בשני המקרים הנתונים קשורים ביניהם באותה נוסחה, כלומר הנעלם שלגביו פותרים את הבעיה, שונה. אלא שנושא הנוסחה, נסמן את הנעלם המשמש כנושא הנוסחה ב-, ונרשום באמצעותו את הנוסחה, שהופכת למשוואה לגבי : b H a

89 א) נושא הנוסחה - מחיר המוצר לפני ההתייקרות: a. = נוסחת ההתייקרות: זאת משוואה ממעלה ראשונה מהסוג נפתור אותה: מציבים נתונים:.a = b נושא הנוסחה - שיעור ההתקייקרות: P. = נוסחת ההתייקרות: נפתח סוגריים: a = 00 (b a) א) תשובה: שינוי נושא הנוסחה 67 ש"ח; 5% 94 בפתרון בעיות מילוליות חשיבות רבה להבנת הנקרא ולתרגום הנתונים לשפת המתמטיקה. הדוגמה הבאה מתארת מרחק שעובר הגוף הנופל חופשי בזמן שעבר מתחילת הנפילה, כאשר השאלה הנשאלת מתייחסת לפרקי הזמן במהלך הנפילה. דוגמה 6 (המאגר, שאלה מס. ). ניתן לחישוב על-ידי הנוסחה הבאה: א. מרחק X (במטרים), X = 5 t כאשר t הוא הזמן שעבר מרגע הפילה (בשניות). מצאו את המרחק שעבר הגוף במשך 4 שניות הראשונות. בסעיף זה, הנעלם הוא המרחק X, אשר כבר מבוטא באמצעות t. שעובר גוף הנופל מגובה,

90 לכן אפשר מיד להציב את הנתון ולקבל תשובה: ב, ג. (מ (' 80 = 5 6 = 5 4 = X כעבור כמה שניות מתחילת הנפילה יעבור הגוף מרחק של 5 מטרים? אומנם הקשר בין X ו- t נתון על-ידי אותה הנוסחה, הנעלם בסעיף זה הוא הזמן t, והנתון המרחק X. נסמן את הנעלם באות : זאת משוואה ריבועית לגבי : נפתור אותה: נציב את הנתון: ד.,t אז הנוסחה לחישוב המרחק תיראה כך:.X = 5.5 X = 0 נקרא לנעלם שמצאנו בשמו המקורי, ונרשום תשובה: האם המרחק שעובר הגוף בשנייה הראשונה שווה למרחק שעובר בשנייה השלישית? בשנייה הראשונה הגוף עובר מרחק.t = 5 (sec). X = 5 = 5 (m) המרחק שעובר הגוף בשנייה השלישית אינו שווה למרחק שהגוף עובר בשלוש שניות! מרחק זה שווה להפרש המרחקים שהגוף, בהתאמה: שניות X ובשתי שניות X עובר בשלוש נציב נתונים ונחשב : = X X = 5-5 = = 5 (m) תשובה: המרחקים אינם שווים. שינוי נושא הנוסחה 95

91 מושגי יסוד בגיאומטריה אנליטית 0 מערכת צירים ישרה (דקארטית) כדי לסמן מקום של נקודה במישור משתמשים בשיטת הקואורדינטות (בעברית - שיעורים): בוחרים נקודה מסוימת כמרכז (O) ומעבירים דרכה שני ישרים המאונכים אחד לשני; לישרים קורים צירים; הציר האופקי מכונה ציר, והציר האנכי ציר y. את מקומה של נקודה מסמנים באמצעות זוג A מספרים (y,) המכונים שיעורי הנקודה. y y A שיעור- שווה למרחק הנקודה, A היטל הנקודה A על ציר מה, מרכז; המכונה O II (-, +) III (-, -) y באופן המכונה דומה שיעור y שווה למרחק הנקודה y, A מערכת הצירים. שיעורי היטל הנקודה A על ציר y, מימינו של ציר y ממרכז של הנקודות השייכות לחצי-המישור הם חיוביים, השייכות לחצי-המישור שמשמאלו לציר- שליליים. בדומה לכך, לחצי המישור שיעורי- העליון ושל הנקודות y y הם של הנקודות השייכות (מעל ציר y) הם חיוביים, ושל הנקודות השייכות לחצי המישור התחתון הם שליליים. ראשי חץ בקצות הצירים מסמנים כיוון חיובי. A I (+, +) IV (+, -) צירי הקואורדינטות מחלקים את המישור לרבעים, המסומנים בספרות רומיות. ברביע הראשון (I) שיעורי כל הנקודות הם חיוביים (0 > y ); >,0 ברביע השני (II) שיעורי- שליליים ושיעורי y חיוביים: > 0 y, < 0, גיאומטריה אנליטית 05

92 ברביע השלישי :(III), < 0, y < 0 ברביעי :(IV). > 0, y < 0 y < 0, y > 0 = 0 < 0, y < 0 y F C 4 > 0, y > 0 y = 0 > 0, y < 0 שיעור- של כל נקודה הנמצאת על ציר- y שווה לאפס (0 = ); לכל הנקודות השייכות לציר - שיעור - y שווה לאפס. את מערכת הצירים מסוג זה ותיאור מקום הנקודה באמצעות הקואורדינטות המציא מתמטיקאי צרפתי ר נה ד ק אר ט ( ). לכבודו מכנים את מערכת הצירים הישרה ואת שיטת הקואורדינטות בשמו. דוגמה -4 D - - O E y C F A B מצאו את שיעורי הנקודות E,D,C,B,A ו-.O מהנקודות שאינן נמצאות על הצירים מורידים אנכים על הצירים וקוראים את שיעורי ההיטלים. שיעורי של הנקודות הנמצאות על ציר- y שווים ל- 0, ושיעורי y של הנקודות הנמצאות על ציר גם הם שווים לאפס. -4 D - - E O A B תשובה: 0),O(0,,B(4, -),A(, ).F(0, ),E(, -),D(-, 0),C(-, ) y -4 4.B(4, ) ו- A(-, ) דוגמה נתונות שתי נקודות: A B הראו שהקטע AB חותך ציר- y, ואינו חותך ציר ציר- y מחלק את המישור y לשני חצאי-מישור. שיעורי- של כל הנקודות בחצי- המישור הימיני הם חיוביים, בשמאלי שליליים. גיאומטריה אנליטית 06

93 מכיוון שהסימנים של שיעורי של הנקודות A ו- B הם נגדיים, מסיקים שהנקודות נמצאות בחצאי-מישור שונים, כלומר, הקטע AB חוצה את ציר ה- y. גם ציר- מחלק את המישור לשני חצאי-מישור. בחצי-המישור העליון שיעורי- y של כל הנקודות הם חיוביים, בתחתון שליליים. מכיוון שהסימנים של שיעורי y של הנקודות A ו- B זהים, הנקודות נמצאות בחצי-מישור אחד, כלומר, הקטע AB אינו חותך את ציר ה-. B (-; ) תרגילים שרטטו קטע AB על-פי שיעורי נקודת הקצה ומצאו את שיעורי נקודת החיתוך של AB עם ציר- : א) ) (4;,A B (; -) -) (;,A. א) שרטטו משולש ששיעורי קודקודיו הם: -) (0;,A.C (5; ),B (-; ) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של ציר- וצלעות המשולש. שרטטו מצולע ABCD ששיעורי קודקודיו הם: -4) (-;,A,B (-; 4).D (; -),C (; ) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של ציר וצלעות המצולע. א) בנו מלבן ABCD על-פי שיעורי קודקודיו: ) (5;,A,B (-; ) -) (-;,C.D (5; -) מצאו את היקף ושטח המלבן. במערכת צירים סמנו נקודות ) (-8;,A.C (; -),B (; ) מצאו את שיעורי הנקודה הרביעית D כזאת שהמצולע ABCD יהיה מלבן. מצאו את ההיקף ושטח המלבן.ABCD א) במערכת צירים סמנו חמש נקודות כאלה ששיעור- שלהן שווה ל- 4. היכן הן ממוקמות? במערכת צירים סמנו חמש נקודות כאלה ששיעור- y שלהן שווה ל-. היכן הן ממוקמות?...4 גיאומטריה אנליטית 07

94 .0 שרטטו ישר, ששיעורי- של כל הנקודות עליו שווים ל-: - א) ג).5.0 שרטטו ישר, ששיעורי- y של כל הנקודות עליו שווים ל-: 4- א) ג).6 7. מערכת הקואורדינטות דקארטית מכונה ישרה. האם אפשר להמציא מערכת קואורדינטות שאינה ישרה? האם אפשר לכוון את הצירים לא ימינה ולמעלה, אלא שמאלה ולמטה? מחיש תרגיל זה. גיאומטריה אנליטית 08

95 מרחק בין שתי נקודות קל לחשב מרחק בין שתי נקודות הנמצאות על ישר אופקי (מקביל לציר ) או אנכי (מקביל לציר y): ( y A(,) B(5,) 4 5 y A( -5,) B( -,) A (-5,) B(,) y לדוגמה, הנקודות (,5-)A ו- (,)B נמצאות על ישר אופקי (מכיוון ששיעורי y שלהן שווים). מהאיור רואים שמרחק AB בין הנקודות שווה ל- =,5 כלומר, להפרש שיעורי של הנקודות: AB = B - A נתבונן בנקודות אחרות : ) A(-5, ו- ).B(-, גם נקודות אלה נמצאות על ישר אופקי ) B y). A = y המרחק AB בין הנקודות שווה להפרש שיעורי : AB = B - A = - -(-5) = = גם כאשר הנקודות נמצאות משני צדדים של ציר- y, המרחק ביניהן שווה להפרש שיעורי ה- : AB = B - A = - (-5) = + 5 = 6 נחשב באופן כזה את המרחק בין אותן הנקודות בסדר הפוך:? = BA BA = A - B = (-5) - = - 6 אולם, מרחק אינו יכול להיות שלילי! לכן במקרה זה צריך לרשום את הערך BA = -6 = 6 המוחלט: סיכום א) כאשר הנקודות ) A A( A, y ו- ) B B( B, y נמצאות על ישר אופקי, שיעורי- y של הנקודות שווים:.y A = y B מרחק בין הנקודות שווה לאורך הקטע,AB כלומר להפרש שיעורי- של קצות הקטע: גיאומטריה אנליטית 09

96 () AB = B A אז הערך המוחלט שווה להפרש > 0 A, B אם הפרש שיעורי- הוא חיובי: עצמו, כמו בדוגמאות הראשונות: AB = 5 - = AB = - - (-5) = -+5 = ואילו כאשר ההפרש הוא שליל, הערך המוחלט שווה להפרש עם סימן נגדי, כמו בדוגמה השלישית: BA = (-5) - = -6 = 6 ( נקודות ) A A( A ; y ו- ) B B( B ; y נמצאות על קו אנכי. במקרה זה שיעורי- של הנקודות שווים:. A = B המרחק בין הנקודות שווה לאורך הקטע,AB כלומר להפרש שיעורי- y של קצות הקטע: () AB = y B y A y y B(, 4) 4 A(, ) AB = 4 = ; AB = (-5) = +5 = 4; AB = = בכל המקרים של מיקום יחסי של שתי הנקודות הנמצאות על קו אנכי, המרחק y 4 A(, 4) ביניהן נתון על-ידי הנוסחה (). b C a ) כאשר שתי הנקודות אינן נמצאות על קו c אופקי או אנכי, אפשר להיעזר במשפט פיתגורס ולחשב את המרחק כאורך היתר של ( )B,5 משולש ישר-הזווית ABC שנוצר: 4 5,c = a + b גיאומטריה אנליטית 0 B(, ) A(, -5) y A(, ) B(, )

97 כאשר הניצבים a ו- b הם ההפרשים של שיעורי ו- y של הנקודות A ו- B בהתאמה: a = B C = B A (מכיוון ששיעורי- של הנקודות A ו- C שווים) b = y A y C = y A y B (מכיוון ששיעורי- y של הנקודות C ו- C שווים) () לכן המרחק הוא: y 4 A(, 4) c b C a 4 5 דוגמה מצאו מרחק בין הנקודות (4 ;) A ו- ( ;5) B. a = B C = B A = 5 = 4 b = y A y C = y A y B = 4 = B( 5, ) ו- B, A( -, ) -4 - בנוסחה () אפשר להשתמש בכל המקרים של מיקום יחסי של הנקודות A B( -, ) y y 4 4 B(, ) 4 5 B (, ),A (-, ) B (-, ) כמו במקרים הבאים:,A (, ) A(, ) - גיאומטריה אנליטית

98 ובכן, את המרחק בין שתי נקודות ) A A( A, y ו- ) B B( B, y הנוסחה: אפשר לחשב על-פי () כאשר הנקודות נמצאות על ישר אופקי (מקביל לציר ), נקבל: y A = y B וכאשר הנקודות נמצאות על ישר אנכי (מקביל לציר- y): A = B כלומר התוצאות שהגענו אליהן בראשית הפרק. y (, ) 4 (, ) על ציר ה- מצאו את הנקודה המרוחקת באופן שווה מהנקודות (, ) 4?.(, 0) דוגמה ו- (,). נסמן את שיעורי הנקודה: נשווה את ריבועי המרחקים הנקודות הנתונות: בינה לבין שתי ( ) + (0 ) = ( ) + (0 ) ( ) = 9 = = 4. מכאן נקבל: תשובה: (4,0) הערה סקיצה פשוטה המציגה את נתוני הבעיה היא חיונית ביותר הן הפתרון והן לבדיקת התשובה! למציאת גיאומטריה אנליטית

99 תרגילים. מצאו מרחק בין שתי הנקודות ללא שימוש בנוסחת המרחק (רצוי להיעזר בשרטוט). א) (0,) ו- (5-,0) (-,-) ו- (4-,-) ג) (,) ו- (,-) ד) (4-,) ו- (4-,-) ה) (-,) ו- (-,5) ו) (0,0) ו- (,4) מצאו מרחק בין שתי הנקודות בעזרת נוסחת המרחק: א) (-,6-) ו- (5-,7-) (-,) ו- (5,4) ג) (-,-) ו- (,) ד) (8,6-) ו- (0,0) ה) (,) ו- (-,5) ו) (0,0) ו- (,4) מצאו מרחק בין שתי הנקודות (השתמשו בשיטה הנראית לכם נוחה ביותר): א) (-,-) ו- (5,7) (-,4-) ו- (4,-) ג) (6,0-) ו- (0,8) ד) (,-) ו- (-,).. על ציר ה- מצאו את הנקודה, המרוחקת באופן שווה מהצירים y, ומהנקודה.4.(,6) 5. הראו שמשולש בעל קודקודים (,4-)A, (,)M, ו- (-,0)N הוא שווה-שוקיים. U(-4,-), A(6,-4) ה. 6. שיעורי הקודקודים של המרובע TAUL הינם: (4,6)T, ו- (,4-)L ראו שהאלכסונים של המרובע שווים. 7. הראו שארבע הנקודות (-,0),(0,),(,0-),(,0) הינן קודקודים של ריבוע. גיאומטריה אנליטית

100 אמצע של קטע כאשר הקטע AB הוא אופקי (מקביל לציר- ), אזי שיעור- של נקודת האמצע שווה לממוצע של שיעורי- של נקודות הקצה A ו- B, ושיעור- y שווה לשיעורי- y של נקודות הקצה. y A(,) C(4,) B(6,) B( -5, ) C( -, ) y A(,) A( -, -) C(,-) B(, -) y - - כאשר הקטע AB הוא אנכי (מקביל לציר- y), אזי שיעור- y של נקודת האמצע שווה לממוצע של שיעורי- y של נקודות הקצה A ו- B, ושיעור- שווה לשיעורי- של נקודות הקצה. - y 5 4 B(, 5) C(, ) A(, ) - A( -,) C( -,-) B( -,-5) - נראה, שבמקרה הכללי, כאשר הקטע AB נטוי בזווית כלשהי, השונה מ- 0 או 90, לציר-, חישוב שיעורי נקודת האמצע דומה למקרה של קטע אופקי או אנכי. y B( -, ) C( -, ) - A( -,) - y 4 - נתבונן באיור בעמוד הבא. מכיוון שנקודת M היא נקודת האמצע של הקטע,AB אפשר לרשום: גיאומטריה אנליטית 4

101 y A M 4 5 R B T S,BT המשולשים ABT ו- MBS הם דומים, לכן:, כלומר, S ועבורה מתקיים: אולם, היא נקודת האמצע של הקטע T A אחד, הנקודות לכן ו- שלהן נמצאות על שווים: קו אופקי ;y T = y A שיעורי- y בדומה לכך, שווים שיעורי- y של הנקודות S ו- M, לכן מקבלים סופית: M ע-פי שיקולים דומים מסיקים, ששיעור- חשבוני של שיעורי- של נקודות הקצה A ו- B: של נקודת האמצע שווה לממוצע גיאומטריה אנליטית 5 סיכום שיעורי נקודת האמצע של הקטע המחבר שתי נקודות ) A(, y ו- ) B(, y הם: כאשר שתי הנקודות נמצאות על קו אופקי אחד, מקבלים: כלומר, נקודת האמצע נמצאת גם היא על אותו הקו; בדומה לכך, כאשר הקטע הוא אנכי, אזי:

102 מצאו את נקודת האמצע של הקטע המחבר את הנקודות (,-) ו- (7-,8). y 4 דוגמה שיעור- של נקודת האמצע הוא: M שיעור- y של נקודת האמצע: תשובה: -) (.5,,AB היא נקודת האמצע של הקטע,)M (- דוגמה כאשר שיעורי הנקודה A הם: ) (-5, = ).(, y A y M מצאו שיעורי הנקודה B. נסמן את שיעורי הנקודה.(, y ) :B B מכיוון שנקודה M צריך להתקיים: היא נקודת האמצע, פותרים את שתי המשוואות: -5 + = 4 = 9; + y = -6 y = -7 תשובה: -7) (9, גיאומטריה אנליטית 6

103 תרגילים. מצאו את שיעורי הנקודה האמצעית של הקטע המחבר את הנקודות הבאות: (0,4) ו- ;(4,) א) (,5) ו- (7,5); (-,7) ו- ;(-7,-5) ג) (,-) ו- (6,4); ד) ;(d,y) ו- (a,n) ה) (-,-) ו- (6-,-); ו) y S(,y) ז) (,t) ו- (4-,4+t); ח) (,b) ו- (5-,4). הנקודה (5,)M היא נקודה אמצעית של הקטע,PS כאשר שיעורי הנקודה P הם: (,0) M(,5) מצאו את שיעורי הנקודה S. P(0,) הנקודה (5,) היא נקודה אמצעית של הקטע,AB כאשר שיעורי הנקודה A הם: (,-). מצאו את שיעורי הנקודה B.. מצאו את אורך הקו האמצעי של טרפז בעל הקודקודים,C(-4,-) E(4,4),D(,4) ו-.F(7,-).4 y S(, 4) E( 8, 4) O 4? K( 6, 0) בשרטוט מצוינים שיעורי הקודקודים של המרובע.KOSE א) הוכיחו ש: OK = SE ו- ;OS = KE איזה סוג של מרובע הוא?KOSE ג) מצאו שיעורי הנקודה האמצעית ;OE ד) מצאו שיעורי הנקודה האמצעית ;KS ה) האם נקודות אמצעיות של האלכסונים מתלכדות?.5 גיאומטריה אנליטית 7

104 y 8 A( 0, 8) שיעורי הקודקודים של משולש ישר-זווית OAT נתונים בשרטוט. M היא נקודה.6 M? אמצעית של.AT א) מצאו את שיעורי הנקודה האמצעית M; מצאו את אורך הקטעים MT,MA ו-.MO ג) נסחו משפט שאותו ממחיש תרגיל זה T( -6, 0) O גיאומטריה אנליטית 8

105 משוואת הישר שיפוע של ישר למושג השיפוע של מישור או ישר חשיבות רבה בחיי יום-יום: בהתאם למידת השיפוע של כביש מעבירים הילוך במכונית או אופניים, שיפוע של קרקע קובע את מהירות זרימת המים בנהר, שיפוע של מסלול הכדור לאחר בעיטת השוער קובע את מרחק המעוף, שיפוע של גרף המחיר של מניה בבורסה קובע את הרווה בסוף השנה וכו'. בהנדסה אנליטית, שיפוע של ישר מתבטא על-ידי "קצב שינוי" שיעור ה y, המייצג את המקום האופקי של נקודה. שני הגרפים הבאים מדגימים את שני המצבים האפשריים: אפשר לדמיין, ששתי הנקודות, A ו- C נעות לאורך הישרים בכיוון חיובי של ציר ה- ; במהלך ה"תנועה" הנקודה A "עולה" (כלומר, שיעור- y שלה הולך וגד ל), ואילו הנקודה C "יורדת" (כלומר, שיעור- y שלה הולך וקט ן). את מידת השיפוע אפשר לבטא באמצעות היחס: שינוי ב- y = שיפוע של = AB שינוי ב- בדומה לכך, שיפוע הישר ה"יורד" CD שווה ל"קצב הירידה" של הנקודה C: שינוי ב- y שיפוע של = CD שינוי ב- משוואת הישר y C(, ) O D( 5, -) 9 y O 5 4 A(, ) B( 6, 4)

106 רואים, ששיפוע הישר ה"עולה" משמאל לימין הוא חיובי, ושיפוע הישר ש"יורד" משמאל לימין הוא שלילי.,B(, y ) ו- A(, y ) y 4 במקרה הכללי, השיפוע מוגדר כ- כאשר הישר עובר דרך שתי נקודות - O 4 5 הערה לצורך חישוב השיפוע של ישר נתון אפשר לבחור שתי נקודות כלשהן, השייכות לישר. A(, ) - y O B(, 5) מצאו שיפוע הקטע המחבר את שתי.B (, 5) A (, -) דוגמה הנקודות: דרך א) ו- נבחר כנקודה ראשונה את הנקודה A, והשנייה B; אזי נקבל: =, y = =, y = 5 נציב בנוסחת השיפוע: דרך נבחר כנקודה ראשונה את הנקודה B, והשנייה A; אזי נקבל: =, y = ; =, y = 5 נציב בנוסחת השיפוע: כלומר, ערך השיפוע אינו תלוי בסדר הנקודות שנבחרו לצורך החישוב. השיפוע גם אינו תלוי בנקודות על הישר, שבחרנו לצורך חישובו, כלומר: לכל הקטעים השייכים לישר מסוים אותו שיפוע. הישר משוואת 0

107 A(, ) y 5 4 B(, 5) לדוגמה, על הישר העובר דרך הנקודות A ו- B נבחר נקודה אחרת, (,4-) C, ונחשב שיפוע הקטע : CA C( -4, ) שיפוע של ישר אופקי וישר אנכי ברור, שישר אופקי אינו משופע. נוכיח זאת. נבחר שתי נקודות כלשהן, ) A(, y ו- ),B(, y השייכות לישר. על-פי הגדרתו של ישר אופקי, שיעורי- y של כל הנקודות השייכות לישר, שווים. לכן: y, = y ולאחר ההצבה בנוסחת השיפוע מקבלים: y ובכן, שיפוע של ישר אופקי שווה לאפס. - y - O - 4 כאשר הישר עובר אנכית, שווים שיעורי ה- של כל הנקודות השייכות לו; לשתי נקודות כלשהן ) A(, y ו- ),B(, y מתקיים:. = נציב לנוסחת השיפוע: O לביטוי זה אין משמעות, אנכי השיפוע אינו מוגדר. כלומר, ביטוי גם בנוסחת השיפוע (התנאי עבור ישר עובדה זו מוצאת.( הערה מכיוון שתוצאת החילוק במספר השואף לאפס היא מספר השואף לאינסוף, אפשר לדמיין ישר אנכי כבעל שיפוע "אינסופי גדול". הישר משוואת

108 תלות השיפוע בזווית בין הישר לציר- y 0 m > שיפוע הישר הנטוי ב- 45 לציר- שווה ל-, B A מכיוון שעבור שתי נקודות כלשהן ו A B C m = m < משולש ישר-הזווית ABC הוא במקרה זה גם שווה-השוקיים:,AC = BC השיפוע: ועל-פי נוסחת לישרים, העוברים מתחת לישר זה (מעל ציר- ) , ערך השיפוע קטן מ- הישר הזה, ערך השיפוע גדול מ-. ולאלה העוברים מעל y כאשר הישר "יורד", שיעורי- y הולכים וקט נים בכיוון חיובי של-, השיפוע הוא שלילי, וערכו המוחלט תלוי בזווית הנטייה כלפי ציר- באופן α = 45 m = דומה: m < 0, m < 0, m > m < m = תרגילים α < 45 m < α > 45 m > מצאו את שיפוע הישר: א) ג). - y y y 4 הישר משוואת

109 מצאו את שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות; אם הישר הוא אנכי, כתבו: השיפוע אינו מוגדר. א) ג) ה) ז) ט) י"א) (, ); (, 4) (, ); (-, -5) (, ); (-, 5) ד) (0, 0); (5, ) (7, ); (, 7) ו) (, ); (, 7) (6, -6); (-6, -6) ח) (6, -6); (4, ) (0, a); (b, 0) י) (p, q); (-m, n) (r, s); (t, v) י" (-e, f); (-d, f) מלאו נתונים חסרים: עובר דרך הנקודות (,) ו- (,0); א). ישר בעל שיפוע ב). ישר בעל שיפוע עובר דרך הנקודות (4-,7) ו- (6, ); ג). ישר בעל שיפוע m עובר דרך הנקודות (q,p) ו- (,r). לכל הישר מצאו עוד נקודות השייכות לו: א) ישר בעל שיפוע העובר דרך הנקודה (0,0); העובר דרך הנקודה (7,-); ישר בעל שיפוע ג) ישר בעל שיפוע העובר דרך הנקודה (,); ד) ישר בעל שיפוע - העובר דרך הנקודה (-,-). הערה: לכל סעיף בשאלה זאת קיימות מספר תשובות אפשריות. בתרגילים הבאים S,R ו- T הם קודקודי משולש ישר-זווית, כאשר קודקוד הזווית הישרה הוא S. מצאו את השיפוע של כל ניצב ואת הקשר בין השיפועים: א) ג) ),R(, T(5, ),S(, 4) ד) -4),R(-, T(4, -8),S(, ) T(-, 6),S(, ) T(, 0),S(5, ),R(4, ),R(, 6) משוואת הישר

110 נתונות ארבע נקודות: -),D(-5, F(8, 9),E(-, 4) ו- ).G(4, יוסי חשב ומצא ששיפועי הקטעים DE ו- FG שווים; על סמך זה הוא החליט שכל 4 הנקודות שייכות לישר אחד. האומנם המסקנה נכונה? מדוע?.6 4 שיפועי ישרים מקבילים כאשר מתבוננים בישרים נטויים מקבילים, עולה המחשבה שלכולם שיפוע שווה. נוכיח זאת. נבחר על כל ישר זוג נקודות לצורך חישוב השיפוע (A, B ו- D C, בהתאמה; כפי שלמדנו בסעיף הקודם, תוצאת החישוב אינה תלויה בבחירה), כאשר שיעורי- y של משוואת 4 הנקודות B ו- D שווים. על-פי תכונות של ישרים מקבילים, זוויות. α = β שוות: β ו- α המשולשים ישרי- הזווית ΑΒΝ חופפים הניצבים), (על-פי לכן זווית שווים גם חדה ו- הניצבים CDM ואחד AM AM = CN ו- :CN מכיוון שערך השיפוע שווה ליחס הניצבים, מקבלים עבור שני הערכים של שיפוע: m = m ובכן, ערכי השיפוע של ישרים מקבילים שווים. דוגמה AB צלע של המלבן ABCD עוברת דרך הנקודות (0,-) ו- (,0). מצאו את השיפוע של הצלע הנגדית DC ושל הצלע הסמוכה.BC הישר - -5 A - A -4 - y D B M y C D N B C 4

111 -5 A -4 נמצא את השיפוע של הצלע AB הנקודות הנתונות: על-פי שתי מכיוון שבמלבן צלעות נגדיות מקבילות, מסיקים שלשיפוע הצלע DC ערך שווה: - D - y B. הצלע הסמוכה BC מאונכת לצלע,AB לכן נשתמש בנוסחה (): C 4. כדי לבדוק זאת נעביר ישר המקביל ל- BC עד למפגש עם הצירים. ל- מכיוון שהישר השיפוע שלו שווה לזה של הצלע מקביל.BC,BC נחשב את השיפוע: שיפוע הישר שווה ל- תרגילים. מה השיפוע של הישרים: א) המקבילים לישר הנתון? המאונכים לישר הנתון? (. שיפוע הישר k שווה ל-. א) המקבילים לישר k מה השיפוע של הישרים: המאונכים לישר? k ( האם הישרים הבאים מקבילים, מאונכים או מסוג אחר? א) = m =, m הישר משוואת 5 ג) - = m =, m ה) ז) ד) m,m = 0 ו) ח) אינו מוגדר. m = 0, m =.

112 y ( נתונות שתי נקודות: 0) A(-, ו- ).B(4, א) AB כל ישר המקביל ל- AB מצאו את שיפוע הישר: ג) כל ישר המאונך ל- AB מצאו את שיפוע הישר: ג) כל ישר המאונך ל- CD E F ( נתונות שתי נקודות: ) C(-, ו- ).D(, א) CD כל ישר המקביל ל- CD המרובע OEFG הוא מקבילית. מה השיפוע של הצלעות: א) OE OG ג) GF ד)? EF רמז: יש להיעזר בשרטוט O 4 G - K y O - - J I המרובע HIJK הוא מלבן. מה השיפוע של הצלעות: א) HI IJ ג) JK ד)? KH רמז: יש להיעזר בשרטוט H -5 M -4 L - - y O N 4 5 P במרובע הנתון :LMNP א) מה השיפוע של הצלע?PN?LM מדוע הצלע LM מקבילה ל-?PN ג) מה השיפוע של?MN של?LP ד) מדוע הצלע MN אינה מקבילה ל-?LP ה) איזה סוג של מרובע הוא?LMNP.6 הישר משוואת 6

113 - - y O S T(5, -) המרובע RSTV הוא מקבילית. א) מה השיפוע של?RV של?TV מדוע? ג) מדוע RSTV הוא מלבן? ד) מה שיעורי הקודקוד S?.7-5 R(-, - 6) V(0, -8) מצאו שיפוע של כל צלע במשולש, ABC כאשר שיעורי הקודקודים הם:.8.C(4, -5),B(, -),A(, 4) C(, -5),B(7, ) א) 0),A(0, 5 משוואת הישר שתי על-ידי מוגדרת במישור נקודה שכל למדנו, הקודמים בסעיפים הקואורדינטות, או שיעורי- ו- y. (-,4) y כאשר הנקודות מפוזרות במישור באופן 4 אקראי, אין קשר בין שיעורי ו- y של (5,) (-, ) אולם, אם הנקודות שייכות לצורה (, ) גיאומטרית כלשהי: ישר, מעגל, פרבולה 4 5 כל נקודה. - - (,-) וכד', אזי שיעורי ו- y של כל נקודה קשורים ביניהם כך, שבחירת ערך של- ( y ל- - נקודות אקראיות (אין קשר בין שהוא y, תוביל לקביעת שיעור ה- - שיעורי ו- y קשורים באמצעות משוואת הישר ורק הוא מתאים לשיעור ה- שנבחר. הערה: לפעמים, כמו במקרה של מעגל וצורות סגורות אחרות, קיימים שניים או יותר שיעורי y המתאימים; נלמד על כך מאוחר יותר. -6 הכלל, שלפיו מחשבים שיעור- y של נקודה בעלת שיעור- מסוים, השייכת לישר נתון, מכונה משוואת הישר. משוואת 7 הישר

114 6-5 A למדתם קודם, שהקשר מסוג זה, כאשר לכל ערך של משתנה מתאים ערך אחד ויחיד של משתנה y, מכונה פונקציה. למדתם גם, שהתיאור הגרפי של פונקציה קווית (מהסוג y) = a + b הוא קו ישר. כעת נפתור בעיה הפוכה: נתון ישר; מה הקשר בין שיעורי ו- y של הנקודות השייכות לישר? אפשר, האם על-ידי התבוננות בישר בתחום כלשהו (נגיד, בין -5 = ל- = ( לחשב, מה יהיה שיעור- y של הנקודה הרחוקה (נגיד, = 000?( חקירת ישר בתחום הנתון מאפשרת לחשב את השיפוע על-ידי מדידת שיעורי שתי נקודות כלשהן, למשל, A ו- :B = (, ),A = (-5, -) :B. כעת ניזכר, שערך השיפוע אינו תלוי בבחירת זוג הנקודות, השייכות לישר אותו הערך נקבל עבור זוג אחר, לדוגמה, הנקודה (-,5-) = A ונקודה כלשהי (y,). נרשום ביטוי לחישוב השיפוע: נכפיל את שני האגפים ב- משוואת 8 :( + 5) m( + 5) = y + y = m + (5m ) נציב את ערך השיפוע, ונקבל את משוואת הישר הנתון: זוהי משוואת הישר הנתון; כעת נוכל לחשב שיעור- y של כל נקודה, כאשר ידוע עבורה שיעור ה- נקבל: לדוגמה,. עבור הנקודה בעלת שיעור הישר y? = B

115 במקרה הכללי, כאשר ידוע שהישר בעל שיפוע m עובר דרך הנקודה ) ),, y נקבל עבור נקודה כלשהי (y,): () y y = m( ) (, y ) זוהי משוואת הישר בעל שיפוע m העובר דרך נקודה ) )., y אם השיפוע m אינו ידוע, אלא ידועות שתי נקודות, ) ), y ו- שדרכן הישר עובר, אזי תחילה מחשבים את השיפוע ע-פי הנוסחה, מציבים את ביטויו של m בנוסחה (), ומקבלים את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות ) (, y ו- ) :(, y ().(, ) (, -4) הישר משוואת 9 דוגמה מצאו את משאוות הישר העובר דרך שתי הנקודות: ו- נסמן: ) (, y ),(, -4) = (, y = ) (,, ונחשב את השיפוע: נציב את התוצאה במשוואה (): תשובה: דוגמה מצאו את משאוות הישר בעל שיפוע שעובר דרך הנקודה (-,0). (): נציב את הנתונים בנוסחה נפתח סוגריים ונעביר לאגף ימין:

116 -7 6 משמעות המקדמים במשוואת הישר נרשום את הנוסחה () בצורה הבאה: y y = m( ) y = m( ) + y y = m m + y y = m + (y m ) () y = a + b b = y - m נשווה ביטוי אחרון עם הנוסחה לפונקציה קווית: ונראה ש- a הוא שיפוע הישר (a m) = ו- שאינו תלוי ב-. נציב בנוסחת הישר את = 0, ונקבל: הוא האיבר החופשי, (4) - y = 0 = b כלומר, הישר y = a + b משוואת הישר: חותך את ציר ה- y בנקודה y. = b y 4 y = + - ( 0,-) (0, ) y = y = + = b; הישר חותך את ציר y = = b; הישר חותך את דוגמה,a = m = ה- y בנקודה ).(0, משוואת הישר:,a = m = -0.5 ציר ה- y בנקודה (-,0). ( ( אם נציב במשוואת הישר () את = 0 y, נקבל: 0 = a + b. כלומר, הישר y = a + b חותך את ציר ה- בנקודה הישר משוואת 0

117 -7-6 ( 0,- 6) y ( 0, 4) O (0,- /) y y = + y = משוואת הישר: + y = = b; הישר חותך את ציר. דוגמה 4 (,a = m = ה- בנקודה משוואת הישר: y = - = b; הישר חותך את.(0, -6),a = m = -0.5 ציר ה- y בנקודה ( דוגמה 5 מצאו את השיפוע ונקודת החיתוך עם ציור- y של הישר: א) 5 + 6y = א) משוואת הישר כבר רשומה בצורה, y = a + b לכן:. y, = a + b כדי לקבל משוואת הישר בצורה 5 + 6y = +5 y 4 נבטא y באמצעות : 5 + 6y = ; 6y = -5 :6 מכאן מקבלים: O הישר משוואת

118 7 דוגמאות השימוש במשוואת הישר בפתרון בעיות בגיאומטריה מכיוון שצורות רבות בגיאומטריה בנויות מישרים, ניתן לתאר אותן בשיטות שלמדנו בסעיפים הקודמים: את הקודקודים באמצעות שיעוריהם במערכת צירים, את כיווני הצלעות באמצעות שיפוע הישר המקביל לצלע, את אורכי הצלעות באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות. להלן מספר דוגמאות לשימוש בשיטות אלה. דוגמה נתון ישר.y = - + :I א. מצאו את משוואת הישר,II המקביל לישר I והעובר דרך הנקודה (,-)A. נשתמש בעובדה, שלישרים מקבילים שיפוע שווה. שיפוע הישר I שווה ל- - = a,m = לכן משוואת הישר II היא:,y = - + b כאשר אלינו למצוא את b. הישר II עובר דרך הנקודה (,-), לכן שיעוריה - = ו- = y צריכים לקיים את משוואת הישר. נציב אותם במשוואה: + b - () = מכאן מוצאים את + b, b = - :b = תשובה: - - y = ב. רשמו שיעורי נקודה נוספת (מלבד הנקודה (,-)) הנמצאת על הישר השני. על הישר II נמצאות אינסוף נקודות (לדוגמה, נקודות D). C, B, A, אם שיעור- של הנקודה שבחרנו ידוע, אפשר להציב אותו במשוואת הישר וכך למצוא את שיעור ה- y. נבחר נקודה B בעלת שיעור = 0, ונציב אותו במשוואה: y B = - B + b = = -. תשובה: -).B(0, הישר משוואת

119 דוגמה (מאגר, שאלה 6) הישר BE מקביל לציר ה- y. שיעורי נקודה B הם (-,). דרך נקודה E עובר ישר,CE שמשוואותו: + 0 -,y = והוא חותך את ציר ה- y בנקודה C. א. ח שבו את שיעורי הנקודה E. מכיוון שהישר BE מקביל לציר ה- y, שיעורי- של כל הנקודות הנמצאות עליו שווים. לכן = B. E = נקודה E שייכת גם לישר,CE לכן שיעורי מקיימים את משוואת הישר y = נציב בו את במקום את B ונחשב את השיעור y: B y = y B = - B + 0 y B = = 4 תשובה: 4).E(, ב. ח שבו את אורך הקטע.BE מכיוון שהקטע הוא אנכי, אורכו שווה להפרש שיעורי- y של נקודות הקצה: BE = y E - y B = 4 - (-) = 7 תשובה: = 7.BE ג. חשבו את אורך הקטע.CE נשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות: ונציב בה את שיעורי הנקודות C ו- E: ד. M היא אמצע הקטע.BE מצאו את משוואת הישר.MC נמצא את שיעורי הנקודה M ונשתמש בנוסחה למשוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות. הישר משוואת

120 ה. מציאת שיעורי הנקודה M: מציאת שיפוע הישר :MC רישום משוואת הישר :MC תשובה: ח שבו את שטח המשולש.OCE שטח משולש שווה לחצי המכפלה של בסיס וגובה עליו. נבחר בתוך בסיס את הצלע.OC אז הגובה הוא.EH ו- =.EH מהסרטוט רואים ש- = 0 OC לכן שטח המשולש שווה ל- תשובה: = 5.S ריבוע ומלבן במערכת צירים = y = 6 כאשר צלעותיו של מרובע או מלבן מקבילות לצירי המערכת, שווים שיעורי ה- של כל הנקודות השייכות לצלע המקבילה לציר- y = = 4 שיפוע הצלע המקבילה לציר- y אינו מוגדר. 4 הישר משוואת 4

121 -5 y -4 y = y = y D(?,?) A( 4, ) k = הישר משוואת 5 כאשר צלעותיו של מרובע או מלבן מקבילות לצירי ה- המערכת, שווים שיעורי y של כל הנקודות השייכות לצלע המקבילה לציר-. שיפוע הצלע המקבילה לציר- שווה ל- 0. הצלעות של מלבן ABCD מקבילות.C(,),A(8, 0) דוגמה א. ב. לצירים. נתונים הקודקודים: רשמו את שיעורי הקודקודים C ו- D. חשבו את שטח המלבן. א. מכיוון שהקודקודים A ו- D נמצאים,y על אותה צלע AD שיעורי ה- שלהם שווים. לכן: המקבילה לציר-. D = A = 4 מאותה הסיבה שווים שיעורי ה- של של. B = C = 9 הקודקודים B ו- C: מכיוון שהקודקודים C ו- D נמצאים על אותה צלע CD המקבילה לציר-, שיעורי y = 5 y = ה- y שלהם שווים. לכן: = C y D = y מאותה הסיבה שווים שיעורי ה- y של של הקודקודים A ו- B:.D(4, ) C(9, ) B(?,?) y B = y A = נסכם את כל התוצאות ונקבל תשובה: (,9)B, ב. שטח מלבן שווה למכפלת אורכי צלעותיו. אורך הקטע המקביל לציר שווה להפרש שיעורי ה- של קצותיו: AB = 9 4 = 5

122 בדומה לכך אורך הקטע המקביל לציר y שווה להפרש שיעורי ה- y של קצותיו:.BC = = 0 לכן, שטח המלבן שווה ל- = = AB BC S = מקבילית ומעויין במערכת צירים y y A B m m m B M D m m C M A m m C 4 m D על-פי ההגדרה, מקבילית היא מרובע, שצלעותיו הנגדיות מקבילות ושוות. לכן, במקבילית שווים שיפועיהן של צלעות נגדיות: m = m, m = m 4 כמו-כן, במקבילית שווים אורכי הצלעות הנגדיות: AB = CD, BC = DA במעוין, אורכי כל הצלעות שווים: AB = BC = CD = DA נקודת החיתוך M של האלכסונים במקבילית ובמעוין היא נקודה אמצעית של כל אלכסון, לכן ניתן לחשב את שיעוריה באמצעות הנוסחאות לאמצע קטע. תכונות אלה בשילוב עם משוואת הישר ונוסחה למרחק בין שתי נקודות (אורך קטע) מאפשרות לפתור שאלות על צורות אלה במערכת צירים. דוגמה 4 קודקודי מרובע ABCD הם:,A(0,0).D(8,4),C(0,0),B(,6) הראו שהמרובע הוא מקבילית. נסמן את הנקודות במערכת הצירים, נחבר אותן בקטעים ונבדוק האם הצורה שנוצרה היא אכן מקבילית. הישר משוואת 6

123 y C A B m m m 4 D m נחשב את שיפועי הצלעות: :AB :BC :CD :AD רואים ששיפועי הצלעות הנגדיות שווים, לכן ההמרובע הוא מקבילית. y D במקבילית ABCD נתונים הקודקודים:,A(,0).D(0,5),B(8,5) M C(,y) B A דוגמה 5 א. ב. ג. ד. מצאו את נקודות המפגש של אלכסוני המקבילית. חשבו את שיעורי הקודקוד C. מצאו את משוואות האלכסונים. האם מרובע ABCD הוא מעוין? א. M היא נקודה אמצעית של הקטע.DB נשתמש בנוסחאות לשיעורי הנקודה האמצעית של הקטע :DB M(4, 5) ב. תשובה: נקודה M היא גם נקודה אמצעית של האלכסון השני.AC לכן עבורה מתקיים: נציב את שיעורי הנקודה M שמצאנו בסעיף הקודם, ונחלץ את השיעורים ו- y: הישר משוואת 7

124 תשובה: 0).C(6, ג. האלכסון DB עובר דרך שתי הנקודות, D ו- M. נשתמש בנוסחה למשוואת הישר העובר דרך שתי נקודות: y - y D = m( - D ) = 0, y = y D = 5 תשובה: = 5.y האלכסון AC עובר דרך הנקודות A ו- M, לכן עבורו נקבל: תשובה: :AD ד. נמצא את אורך הצלע אורך הצלע :AB מכיוון ש- AB AD מסיקים שהמרובע ABCD אינו מעוין. משולש במערכת צירים y דוגמה 6 (המאגר, שאלה מס. 0) הנקודות,A(,) С(-,-),B(-,) הן - B D - A שלושה קודקודים של משולש. א. מצאו את שטח המשולש.ABC ב. הנקודה D היא אמצע הצלע.BC מצאו את שיעורי הנקודה D. - ג. חשבו את שטח המשולש.ABD C - ד. חשבו את שטח המשולש.ACD הישר משוואת 8

125 B D C - א. שיעורי - y של הקודקודים A ו- B שווים, לכן הצלע AB מקבילה לציר-. שווים גם שיעורי - של הקודקודים B ו- C, לכן הצלע BC מקבילה לציר- y. AB = A - B = - (-) = 5 y לכן מסיקים שהמשולש ABC הוא משולש ישר-זווית. שטח של משולש ישר-זווית שווה למחצית מכפלת הניצבים: BC = y B - y C = - (-) = ב. ג. מכיוון שהניצב AB מקביל לציר אורכו שווה ל- A אורכו של הנציב BC שווה ל- לכן שטח המשולש ABC שווה ל- המשולש ABD הוא משולש ישר-זווית. לכן שטחו שווה ל- ד. במשולש,ACD גובה לצלע CD הוא.AB לכן שטח המשולש ACD שווה ל- כאשר בבעיה חסרים כביכול נתונים, מסמנים אותם באותיות (, AB h, y, וכד'), ורושמים את המשוואות שדרושות לפתרון הבעיה באמצעות האותיות האלה. y A O C דוגמה 6 (המאגר, שאלה מס. 7) שיעורי הנקודה A הם (0,5). D שטח המשולש ABO הוא 5. א. מצאו את שיעורי הנקודה B. ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך A ו- B B ג. שיעורי הנקודה C הם (-,0), ושיפוע הישר CD הוא. רשמו את משוואותו. משוואת הישר 9

126 y A O C ד. מצאו את שיעורי הנקודה D. ה. חשבו את שטח המשולש.ACD א. המשולש AOB הוא ישר זווית. D שטח של משולש ישר-זווית שווה למחצית מכפלת הניצבים: B אורך הניצב OA שווה לשיעור- y של הנקודה OA = y A = 5 :A אורך הניצב OB שווה לשיעור- של הנקודה B, שאינו ידוע. נסמן אותו ב- ונציב בנוסחת השטח: 50 = 5, = 0 נפתור את המשוואה לגבי : הנקודה B נמצאת על ציר-, לכן שיעור ה- y שלה שווה ל- 0. תשובה: (0,0)B ב. שיעורי הנקודות A ו- B ידועים, לכן אפשר להשתמש במשוואת הישר העובר דרך y - y A = m( - A ), y - 5 = -0.5( - 0), y = שתי נקודות: ג. נשתמש במשוואת הישר בעל שיפוע נתון העובר דרך נקודה נתונה: y - y C = m( - C ), y - (-) = ( - 0), y = - ד. הנקודה D שייכת לשני הישרים, CD ו-,AB לכן שיעוריה מקיימים את המערכת של שתי המשוואות: = = 7 =.8, y =.8 =.6 D(.8,.6) נפתור אותה: תשובה: הישר משוואת 40

127 y A M O C h D B ה. נשתמש בנוסחה לשטח משולש: נחשב את אורך הצלע :AC AC = y A y C = 5 - (-) = 7 לשיעור- h = הגובה DM שווה של h =.8 הנקודה D: שטח המשולש ACD שווה איפוא: תשובה: = 9.8 S צורות גיאומטריות הנוצרות על-ידי גרפים של פונקציות כאשר ידועות משוואות הישרים שמהם בנויה הצורה, אפשר לחשב את שיעורי הקודקודים, אורכי הצלעות, זוויות, היקף ושטח. y H I M G דוגמה 7 הישר שמשוואתו y = והישר שמשוואתו y = יוצרים עם ציר ה- y את המשולש.GHI א. מצאו את שיעורי הקודקודים של המשולש שנוצר. ב. מצאו את אורך הצלע.GI משוואת הישר 4 ג. מהקודקוד H מעבירים אנך לציר y. מצאו את אורך האנך. ד. חשבו את שטח המשולש.GHI א. הקודקודים G ו- I הינם נקודות המפגש של גרפים הפונקציות הנתונות עם ציר,y לכן שיעורי ה- של נקודות אלה שווים ל- = 0 :0 I. G = כדי למצוא את שיעורי ה- y, נציב במשוואות הישרים את = 0 :.y I = = -4,y G = = תשובה: ),G(0, I(0,-4)

128 ב. מכיוון שקודוקודים G ו- I נמצאים על ציר y, אורך הצלע GI שווה להפרש שיעורי- y של נקודות אלה: תשובה: GI = y G y I = - (-4) = 6.GI = 6 ג. אורך האנך HM שווה לערך מוחלט של שיעור ה- של הקודקוד H:.HM = H מכיוון שנקודה H שייכת לשני הישרים, שיעוריה צריכים לקיים את מערכת המשוואות: נפתור אותה: תשובה: =.6-4,. = -6, = -5 HM = 5 ד. שטח המשולש GHI שווה למחצית המכפלה של הצלע GI והגובה עליו : HM תשובה: = 5 S דוגמה 8 הישרים -5 = y ו- + - y = יוצרים ברביע הרביעי מרובע עם הצירים. א. מצאו את שיעורי ארבעת הקודקודים עם הצירים. ב. חשבו את שטח המרובע. ג. מצאו את משוואות הישרים עליהם מונחים אלכסוני המרובע. ד. מצאו את נקודת החיתוך של אלכסוני המרובע. א. הקודקוד O הוא ראשית הצירים. שיעורי נקודה זו (0,0). הקודקוד A הוא נקודת החיתוך של הישר 5- = y עם ציר y, לכן שיעור ה- של הנקודה A שווה ל- 0. לכל הנקודות השייכות לישר זה שיעור ה- y שווה ל- 5-. לכן שיעורי הקודקוד A הם: (5-,0)A. הקודקוד B שייך לשני הישרים, לכן שיעוריו מקיימים את מערכת המשוואות: הישר משוואת 4

129 .0 = - +, - + = -5, B(8, -5) נפתור אותה: -5 = y = 8; שיעורי הקודקוד B הם: קודקוד C נמצא על ציר. לכן שיעור ה- y שלו שווה ל- 0. =.y = - + y = 0 הוא גם נמצא על הישר נציב במשוואת הישר שיעורי הקודוקוד C: ונקבל את שיעור ה- :.C(,0) ב. המרובע OABC הוא טרפז, ששני בסיסיו: = 8 AB OC =, וגובהו: = 5.OA שטח טרפז מחשבים לפי הנוסחה:, כאשר a ו- - b בסיסים ו- - h גובה. נציב את הנתונים ונקבל תשובה:. ג. משוואת האלכסון :OB מציאת השיפוע על-פי שתי נקודות: משוואת הישר: ד. משוואת האלכסון :AC מציאת השיפוע: משוואת הישר: שיעורי הנקודה M מקיימים מערכת של שתי משוואות: הישר משוואת 4 נפתור אותה:

130 י ב- מ 5 מהי סדרה חשבונית? סדרה חשבונית 8 בחיי יום-יום אנו נוהגים ל מ ס פּר עצמים שונים, כדי לציין את מקומם ואת סדר הופעתם. לדוגמה, מ מ ס חולים, תעודות זיהוי וכדומה. פּ רים בתים ברחוב, כיסאות בתאטרון, את התור על-פי מספר החשבון בבנק אפשר לאתר ולבדוק כמה כסף נמצא בחשבון זה. לקופת נניח שבחשבון מס. נמצא סכום של, 000 בחשבון מס. נמצא סכום של, 000 בחשבון מס. 500 וכך הלאה. נרשום את הסכומים בכל החשבונות, ונקבל סדרת מספרים: 000, 000, 500, כדי לברר כמה כסף יש בחשבון, צריך לדעת את מספרו הסידורי בסדרה. נקרא לסכום הנמצא בחשבון מס. a, - בחשבון מס. a, וכך הלאה. נרשום את הסכומים, ונקבל סדרת מספרים הרשומה בצורה כללית: כאשר N הוא מספר כל החשבונות בבנק.,a, a, a,, a N בסדרה זו לכל מספר סידורי n מתאים מספר a n הנמצא במקום n a המספר מכונה האיבר הראשון של הסדרה, a המספר - a האיבר השלישי וכך הלאה. בדוגמה הנ"ל: המספר.a = 000, a = 000, a = 500 מכונה a n סדרה. - האיבר השני, המספר האיבר הכללי של הסדרה, והמספר הטבעי n מספר האיבר. בסדרת החשבונות בבנק הסכומים שנמצאים בחשבונות שונים אינם קשורים ביניהם, ולכן במקומות או או n יכולים להימצא סכומים כלשהם. אולם קיימות סדרות שבהן האיברים הנמצאים במקומות שונים מוגדרים היטב באמצעות מספר סידורי בסדרה, או באמצעות האיברים הקודמים. ', בשנייה דוגמה גוף שנופל חופשי עובר בשנייה הראשונה מרחק הקרוב ל- 5 שאחריה - מ,' בשלישית 5 מ', ברביעית 0 מ'. סדרה חשבונית 44

131 י- האם נוכל לנחש את המרחק שאותו יעבור הגוף בשנייה החמישית? נתבונן באיברי הסדרה: השני גדול מהראשון ב- a a = 5 5 = 0 (m) השלישי גדול מהשני ב- a a = 5 5 = 0 (m) הרביעי גדול מהשלישי ב- a 4 a = 5 5 = 0 (m) כלומר: הפרש בין האיברים הסמוכים של הסדרה הוא קבוע. לכן, כדי לחשב את הדרך בשנייה החמישית, נוסיף 0 לדרך בשנייה הרביעית: a 5 = a = = 45 (m) להפרש בין האיברים הסמוכים קוראים הפרש הסדרה ומסמנים אותו באות d. דוגמה בשנה יש 65 ימים בקירוב. הערך המדויק יותר הוא ימים, ולכן בכל 4 שנים מצטברת שגיאה בת יממה אחת. כדי לתקן את השגיאה, מוסיפים לכל שנה רביעית יום אחד, והשנה מכונה שנה מעוברת. לדוגמה, השנים 00 06, 0, 008, 004, יהיו שנים מעוברות. מה תהיה שנה מעוברת הבאה? בסדרת מספרים זאת כל איבר, החל מהאיבר השני, גדול מהאיבר הקודם 4, כלומר, הפרש הסדרה הוא קבוע ושווה ל- 4. לכן שנת המעוברת הבאה תהיה 04. בּמספר סדרה מסוג זה, שבה ההפרש הוא קבוע, מכונה נרשום זאת בשפה האלגברית: סדרה חשבונית 45 סדרה חשבונית. נסמן את האיבר הנמצא במקום כלשהו בסדרה כ- a; n כאן n הוא מספר סידורי של המקום, לכן אומרים שהאיבר a n נמצא במקום ה- n. האיבר שאחריו נמצא במקום שמספרו (+n), לכן מסמנים את האיבר כ- ההפרש בין האיברים הסמוכים האלה הוא הפרש הסדרה:. a n+ d = a n+ - a n

132 אם האיבר ה- n י- הבא ) n+ :(a ) n a) והפרש הסדרה d ידועים, אפשר לחשב את האיבר () a n+ = a n + d שווה לסכום האיבר שלפניו והפרש למעט הראשון, כל איבר בסדרה, כלומר: הסדרה. סדרה חשבונית, אם בכל סדרת מספרים, n a, a, a,, a מכונה הגדרה: איבריה מתקיים השוויון = a n + d הוא קבוע לכל איברי הסדרה. d הוא מספר האיבר בסדרה, ו- n כאשר a, +n בסדרה חשבונית, הפרש הסדרה יכול להיות חיובי, שלילי או אפס. דוגמאות א) סדרת מספרים טבעיים:,n,,4,,, היא סדרה חשבונית. הפרש הסדרה שווה ל- = d. סדרת מספרים שלמים שליליים: -n,, -4, -, -,, היא סדרה חשבונית. הפרש הסדרה שווה ל- - = d. ג) הסדרה:,,,,, גם היא סדרה חשבונית; הפרש הסדרה = 0.d לא כל סדרה היא סדרה חשבונית. לדוגמה, דרך שאותה עובר גוף בנפילה חופשית בשנייה אחת שווה בקירוב ל- מ 5 ', בשתי שניות 0 מ', בשלוש שניות 45 מ', בארבע שניות 80 מ'. האם סדרת המספרים האלה היא סדרה חשבונית? כדי לבדוק זאת, נחשב את ההפרשים בין איבריה הסמוכים של הסדרה: a a = 0 5 = 5 (m) a a = 45 0 = 5 (m) a 4 a = = 5 (m) ההפרשים אינם שווים, לכן הסדרה היא איננה סדרה חשבונית. כאשר האיבר הראשון a וההפרש d ידועים, אפשר לחשב את כל האיברים של הסדרה על-ידי הוספת הפרש הסדרה d לכל איבר, החל מהאיבר הראשון, על-פי.a n+ = a n + d הכלל : סדרה חשבונית 46

133 י- בדרך זו לא קשה לחשב את מספר האיברים ראשונים של הסדרה, אולם, לדוגמה, a = a + d, חישוב האיבר a 00 עלול לקחת זמן רב: a = a + d = (a + d) + d = a + d, a 4 = a + d = (a + d) + d = a + d, וכך הלאה. חישוב זה מראה כיצד לחשב כל איבר ללא חישובי ביניים: האיבר שמספרו n שווה לסכום האיבר הראשון ו- ( n) פעמים ההפרש d: () a n = a + (n )d נוסחה זאת מכונה הנוסחה לאיבר- n חשבונית. (או נוסחת האיבר הכללי) של סדרה דוגמה מ צאו את איבר ה- 00 בסדרה חשבונית, שבה 6- = a, ו- = 4 d. נשתמש בנוסחה () עבור = 00,n ונקבל: a 00 = a + (00 ) d = = 90,9,.,5,7 מספר 99 נמצא בין איברי הסדרה החשבונית דוגמה מ צאו את מספר האיבר הזה (n)..d = a a = 5 = :d א) נמצא את הפרש הסדרה נסמן את מספר האיבר הרצוי ב- n, ונרשום עבורו את נוסחת האיבר הכללי: a n = a + (n )d 99 = + (n ) 99 = + n 98 = n n = 49 n = 49.a ו- = 66 סדרה חשבונית 47 a 8 דוגמה 4 בסדרה חשבונית נתון: = 0 מ צאו את נוסחת האיבר הכללי. נשתמש בנוסחה (), ונרשום עבור שני האיברים הנתונים: a 8 = a + 7d, a = a + d.

134 נציב את הנתונים ונקבל מערכת משוואות לגבי a ו- d: a + 7d = 0-7d a + d = 66 d נחסיר משני האגפים של המשוואה הראשונה 7d ומשני האגפים של השנייה d: a = 0-7d a = 66 d נשווה את אגפי הימין: 0 7d = 66 d, 4d = 6 d = 9 לכן: = 67 6 = = 7d.a = 0 - נוסחת האיבר הכללי: a n = a + (n )d = (n ) = n 9 = n תשובה: n a n = דוגמה 5 קרן הזווית מחולקת לקטעים שווים החל מהקודקוד. דרך קצות הקטעים מעבירים קווים מקבילים. ה ראו שערכי אורך הקטעים מהווים סדרה חשבונית. a n+ בטרפז שבסיסיו הם -n a הוא ו- הקו האמצעי (מכיוון שהוא חוצה את השוקיים של הטרפז). לכן, על-פי הגדרת קו אמצעי:,a n = a n + a n+ מכאן מקבלים: a n+ a n = a n a n או: כלומר: ההפרש בין כל איבר לקודמו הוא קבוע, לכן הסדרה היא סדרה חשבונית. a n סדרה חשבונית 48

135 תרגילים מ צאו את האיבר הראשון ואת ההפרש בסדרה חשבונית: א) 0, 6, 8,, 7, 9, ג) 7, 5,, ד) -6, -9,, א) ר שמו את חמשת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית, אם ידוע ש: = d a = -, א) = 5 d a =, הראו שחמשת האיברים הראשונים של הסדרה המוגדרת על-פי נוסחת האיבר הכללי מהווים סדרה חשבונית: a n = -5 + n א) a n = 4n ד) n) a n = ( ג) ) + (n a n = מ צאו בסדרה חשבונית את: a 0 a אם ידועים: = d a =, אם ידועים: = 4 d a =, a 5 ג) a 8 אם ידועים: - = d a = -, ד) אם ידועים: -4 = d a = -, ר שמו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה החשבונית: א) 6,, 6,,, 5,, 7, ג) 0, -8, -6, -4, ד) 4, -9, -4,, מספר (-) הוא איבר של סדרה חשבונית,,44.,8 מ צאו את מספר האיבר. האם המספר נמצא בין איברי הסדרה החשבונית,-,5-,8-? המספר 59 הינו איבר הסדרה החשבונית,5-,. מ צאו את מספרו. האם המספר (46-) נמצא בין איברי הסדרה? מ צאו את הפרש הסדרה החשבונית, אם ידועים: א) = 67 6 a = 7, a = 0 9 a = -4, a מצאו את a אם ידוע ש: הפרש הסדרה החשבונית שווה ל = 7 a א) = 9 a סדרה חשבונית 49

136 מצאו את האיבר הראשון של סדרה חשבונית, כאשר ידוע ש: א) = 0 d = -, a -5.5 = a = 0, a מצאו את נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית, כאשר ידוע ש: א) = 6 a =, a = 8 7 a = -7, a נתונה סדרה חשבונית:,.5,, א. מצאו את הפרש הסדרה; ב. איברי הסדרה הולכים וקט נים; החל מאיזה n איברי הסדרה יהיו שליליים? בסדרה חשבונית ידוע ש: = 0.5 d.a = 0, ב. איברי הסדרה הולכים וגד לים; החל מאיזה n איברי הסדרה יהיו חיוביים? מצאו את האיבר התשיעי ואת ההפרש של הסדרה החשבונית, אם ידוע ש: א) = 46 0 a 8 = 6, a -50 = 0 a 8 = -64, a ג) = 0 a 8 = -7, a ד) -.5 = 0 a 8 = 0.5, a גוף הנופל חופשי עובר בשנייה הראשונה 4.9 מ', ובכל שנייה אחר-כך ב- 9.8 יותר מאשר בקודמת. איזו דרך יעבור הגוף הנופל בשנייה החמישית? אימוני שחייה לילדים מתחילים מ- 5 דקות ביום הראשון, ומאריכים אותם ב- 0 דקות בכל אימון נוסף. לאחר כמה אימונים הם יגיעו לזמן מ ר בּי (מקסימלי) של שעה ו- 45 דקות? מ' סדרה חשבונית 50

137 9 סכום של n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית משימה מ צאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ- עד 00. נרשום את הסכום המבוקש בשתי צורות אפשריות: S = S = נחבר את שני השוויונות, ונשנה את הסדר באגף ימין כך שהאיבר הראשון בשוויון העליון יתחבר לאיבר הראשון של השוויון התחתון, וכך הלאה: = ( + 00) + ( + 99) + ( + 98) + + (99 + ) + (00 + ) 00 סוגריים מכיוון שהסכום בכל הסוגריים שווה ל- 0, ומספר הסוגריים הוא 00 נקבל: S = 00 0 = 000 והסכום המבוקש שווה ל- = 5050 S בשיטה זו השתמש תלמיד כיתה ג' בבית ספר יסודי בכפר גרמני קטן לפני כ- 00 שנה. בשיעור חשבון המורה נתן לתלמידים משימה: לחשב את סכום כל המספרים מ- עד 00. המורה היה בטוח שיספיק לנוח ולקרוא עיתון עד שהתלמידים יסיימו. להפתעתו הרבה, הכריז אחד הילדים את התשובה תוך שניות ספורות. אותו תלמיד, קארל פרידריך גאוס, ילד פלא בן למשפחת איכרים ענייה, גדל והיה, בעידודו של אותו מורה, לאחד מגאוני המתמטיקה בכל הדורות. ק ר ל פרידריך גאוּס ( ) סדרה חשבונית 5

138 a, a, a,, a n, נתבונן כעת בסדרה חשבונית כללית: נקרא לסכום של n האיברים הראשונים של הסדרה ב- : S n S n = a + a + a + + a n + a n S n = a n + a n + + a + a + a נרשום את הסכום בסדר הפוך: על-פי הנוסחה לאיבר הכללי בסדרה חשבונית, אפשר לרשום את שני השוויונות S n = a + (a + d) + (a + d) + + (a + (n )d) S n = a n + (a n d) + (a n d) + + (a n (n )d) בדרך זו: נחבר את שני השוויונות, כמו בדוגמה הקודמת:,S n = (a + a n ) + (a + a n ) + + (a + a n ),S n = (a + a n ) n כאשר מספר זוגות הסוגיים הוא n. לכן: וסכום n האיברים הראשונים שווה ל- () מ צאו את הסכום של 60 המספרים הזוגיים הראשונים., 4, 6, 8,, n, דוגמה סדרת המספרים הטבעיים הזוגיים היא סדרה חשבונית בעלת ההפרש = d..a 60 = 0 מכיוון ש-,a n = n אזי =,a על-פי הנוסחה () נמצא את הסכום המבוקש: דוגמה מ צאו את הסכום (-7) + + 5, 8 + אם ידוע איבריה העוקבים של סדרה חשבונית. סדרה חשבונית שהמחוברים הם.a n = -7,d = 5 8 = -,a = 8 על-פי הנתונים: 5

139 נשתמש בנוסחת האיבר הכללי,a n = a + (n )d ונציב בה את הנתונים: -7 = 8 + (n ) (-) נפתח סוגריים ונחלץ n: -7 = 8 -n + n = n = 48 n = 6 נציב בנוסחה (), ונקבל: S = 48 דוגמה כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ- צריך לחבר, כדי שסכומם יהיה?5 סדרת מספרים טבעיים היא סדרה חשבונית בעלת הפרש = d. על-פי הנתון: =.S n = 5,a את נוסחת הסכום של n איברים ראשונים נרשום בצורה אחרת: () נציב את הנתונים ונקבל משוואה לגבי הנעלם n: נכפיל את שני האגפים ב-, נפתח סוגריים ונקבל משוואה ריבועית: 06 = n + (n )n n + n 06 = 0 n = 8, n = 7. סדרה חשבונית 5, נפתור אותה: מכיוון שמספר האיברים אינו שלילי, מקבלים את התשובה: n = 7

140 בדיחה של גאוס בשיעור חשבון בכיתה שבהּ למד גאוס, רצה המורה להעסיק את תלמידיו במשימה ארוכת-זמן כזו, שגם גאוס הגאון לא יוכל לסיימה במהרה. הוא שאל את התלמיד: "קרל, אשאל אתך שתי שאלות. אם תענה נכון על הראשונה, לא תצטרך לענות על השנייה. ובכן, תגיד לי, כמה מחטים על עץ האשוח שבפינה?" קרל ענה מיד: "שישים ושבע אלף חמש מאות שלושים וארבע!" "איך ספרת כל-כך מהר?" תהה המורה. "זאת כבר שאלה שנייה, המורה", - השיב התלמיד בחיוך... תרגילים מ צאו את הסכום של n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית, אם נתון ש: א) = 50 n a =, a n = 0, = 00 n a =, a n = 00, ג) = 0 n a =, a n = -40, ד) = 50 n a =, a n = 00, מ צאו את סכום כל המספרים הטבעיים מ- עד ל- 98. מ צאו את סכום כל המספרים האי-זוגיים מ- עד-. מ צאו את הסכום של האיברים הראשונים של סדרה חשבונית, אם נתון: א) = 0.5 d a = -5, מ צאו את הסכום של n איברים ראשונים של הסדרה החשבונית: א) 7; ; 9; אם = n -4; 0; 6; אם = n מ צאו את סכום הסדרה, אם ידוע שכל המחוברים הם איברים עוקבים של סדרה חשבונית: א) (-60) סדרה חשבונית

141 מ צאו את הסכום של: א) כל המספרים דו-ספרתיים כל המספרים תלת-ספרתיים. הסדרה החשבונית מוגדרת על-פי נוסחת האיבר הכללי. מצאו את, אם נתון: S 50 a n = 7 + n א) + 5 n a n = הסדרה מוגדרת על-ידי כלל הנסיגה n a n+ = a והאיבר הראשון: = 7.a מצאו את הסכום של תשעת האיברים הראשונים של הסדרה. כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ- יש לחבר, כדי שסכומם יהיה 75? a n מצאו את ו- d של הסדרה החשבונית, אם נתון: א) = a = 0, n = 4, S a מצאו את ו- d של הסדרה החשבונית, אם נתון: א) = 05 7 a 7 =, S =.a = 9, S במחסן עצים מסדרים את הקורות במ ר ב ד, שכבה על גבי שכבה, כפי שנראה בציור. כמה קורות במרבד אחד, אם בבסיסו נמצאות קורות? S בסדרה חשבונית נתון ש: = 8 9.a + a מצאו את.4 מ צאו את האיבר הראשון וההפרש של הסדרה החשבונית, כאשר נתון:.S 0 = 0 ו- S 5 = 65 הוכיחו שבסדרה חשבונית מתקיים השוויון: S = (S 8 S 4 ).5.6 סדרה חשבונית 55

142 0 דוגמאות של פתרון בעיות בסדרה חשבונית שימוש בנוסחה לאיבר הכללי בסדרה חשבונית 8 איברים. האיבר השלישי בסדרה הוא. דוגמה הפרש הסדרה הוא 4. מצאו את האיבר העשירי בסדרה. א. מצאו את האיבר השמונה-עשר בסדרה. ב.? = a 8? = a 0.a =,d = 4 נרשום את הנתונים בשפה האלגברית: a n = a + (n )d נתבונן בנוסחה לאיבר הכללי: רואים שכדי לחשב איבר כלשהו, צריך לדעת את האיבר הראשון, שאינו בין הנתונים. כדי למצוא אותו, נרשום ביטוי לאיבר השלישי הנתון: a = a + (n ) d = a + ( ) 4 = a + 4 =, a מכאן מוצאים את :a = נציב אותו בנוסחה לאיבר הכללי ונמצא את האיברים המבוקשים: a 0 = a + (0 )d = = 9 a 8 = a + (8 )d = = 7 תשובה: = 9 0 a 8 = 7,a בסדרה חשבונית האיבר השלישי הוא 8, והאיבר השביעי הוא 8. דוגמה מצאו את הפרש הסדרה. א. מצאו את האיבר הראשון בסדרה. ב. d =?,a =? = 8.a 7 = 8,a נרשום את הנתונים: נרשום את שני האיברים הנתונים באמצעות האיבר הראשון a וההפרש d: () a = a + ( )d = a + d = 8 -d () a 7 = a + (7 )d = a + 6d = 8-6d קיבלנו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים, a ו- d. נפתור אותה: - = d = 8 6d, 4d = 0, d = 5, a 8 תשובה: = 5,d a = - סדרה חשבונית 56

143 כאשר הנתונים הם לא האיברים עצמם אלא vקשרים vמתמטיים ביניהם, רושמים אותם בשפה האלגברית, ופותרים את המשוואה או מערכת המשוואות לגבי הנעלמים שבהם סימנו את האיברים הנדרשים. דוגמה בסדרה חשבונית האיבר החמישי גדול פי 4 מהאיבר הראשון, והאיבר השמיני קטן ב- 8 מהאיבר השני. מצאו את הפרש הסדרה והאיבר הראשון. נרשום את הנתונים בשפה האלגברית: () a 5 = 4 a () a 8 = a - 8 a =?,d =? במערכת של שתי המשוואות שרשמנו יש חמישה נעלמים d),(a, a, a 5, a 8, אולם אפשר להקטין את מספרם, אם נשתמש בנוסחה לאיבר הכללי: a 5 = a + (5 )d = a + 4d a 8 = a + (8 )d = a + 7d a = a + ( )d = a + d נציב ביטויים אלה במשוואות המערכת, ונקבל מערכת עם שני נעלמים בלבד: () a 5 = 4 a a + 4d = 4a () a 8 = a - 8 a + 7d = a + d 8 - = d 7d = d 8, מהמשוואה השנייה מקבלים מיד: מציבים במשוואה הראשונה ומוצאים את a: a + 4 (-) = 4a, a =, a = -4 תשובה: - =,d a = -4 שימוש בנוסחה לסכום איברי הסדרה בפתרון בעיות מילוליות חשיבות רבה להבנת הנקרא. על-מנת להבין טוב יותר את השאלה יש לרשום את הנתונים בשפה האלגברית, כולל את השאלה שבבעיה (מה צריך למצוא). לבסוף יש לבדוק אם הפתרון שנמצא מקיים את נתוני הבעיה. סדרה חשבונית 57

144 י-.d = -4 סדרה חשבונית 58,a = 48 דוגמה 4 (המאגר, שאלה מס. 7) נתונה סדרה חשבונית שבה: א. ב. א. חשבו את a. מחברים זה לזה את איברי הסדרה, החל מן האיבר הראשון. כמה איברים יש לחבר כדי שהסכום שיתקבל יהיה 40? מצאו את כל הפתרונות האפשריים. מתבוננים בנתוני הבעיה ומאתרים את הנוסחה הקושרת בין הנתונים לבין הנעלם. מכיוון שנתון איבר שלישי, ויש למצוא את האיבר הראשון, מנסים את הנוסחה לאיבר הכללי:.a = a + ( ) d = a + d מציבים את הנתונים ומחלצים את הנעלם: 48 = a + (-4), 48 = a 8, a = = 56 n =?.S n = 40,d = -4 ב. רושמים את הנתונים: = 56 a, בין שתי הנוסחאות לסכום איברי הסדרה: ו- נבחר את השנייה, מכיוון שראשונה כוללת את האיבר ה- n נציב בנוסכת הסכום את הנתונים: נפתח את הביטוי שקיבלנו, ונקבל משוואה ריבועית לגבי n:, שאינו ידוע. 40 = n 4n + 4n, 4n 6n = 0 :4 n 9n + 0 = 0 נפתור את המשוואה: כיצד יתכן שסכומים של 4 ושל 5 איברי הסדרה שווים?

145 אפשר להבין זאת, אם נשים לב לכך, שהפרש הסדרה הוא שלילי, כלומר הסדרה היא סדרה יורדת (כל איבר קטן מקודמו ב- 4). במקרה כזה יכול לקרות שאיבר ה- 5 שווה ל- 0, ואינו משפיע על הסכום. נבדוק זאת. נחשב את = = 56 - (5) (-4) +.a 5 = a :a 5 לכן, התשובה היא: = 4 n או = 5.n כאשר מסדרה מסירים מספר איברים נשארת סדרה, שהקשר בין איבריה שונה מזה שהיה בסדרה המקורית. יכול להיות שהקשר החדש אינו מהסוג של סדרה חשבונית (שכל איבר גדול או קטן מקודמו בגודל קבוע). לדוגמה: מסדרה חשבונית של מספרים טבעיים מסירים את האיברים הבאים:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4, 5,, 4, 6, 7, 8, 0,,, 5 d = הסדרה שנשארת: סדרה זאת אינה סדרה חשבונית (מכיוון שהפרש בין איבריה הסמוכים אינו קבוע). יכול להיות שהסדרה החדשה תהיה סדרה חשבונית, אולם עם האיבר הראשון או ההפרש, או שניהם שונים. דוגמה: מסדרה חשבונית של מספרים טבעיים מסירים כל איבר שני:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4, 5 הסדרה שתיווצר תהיה סדרה של מספרים אי-זוגיים:,, 5, 7, 9,,, 5 d = סדרה זאת היא חשבונית, שבה = d.a =, אם בסדרה של מספרים טבעיים נסיר את כל האיברים הנמצאים במקום אי-זוגי (ראשון, שלישי, חמישי וכך הלאה), תישאר סדרה חשבונית של מספרים זוגיים,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4, 5, 4, 6, 8, 0,, 4 d = סדרה חשבונית 59 שבה = d :a =,

146 כדי לחשב סכום האיברים בסדרה שתיווצר לאחר המחיקה, יש לסמן מחדש את האיברים ולחשב את הפרש הסדרה. דוגמה 5 נתונה סדרה חשבונית שבה: = 4.d =,a א. ב. ג. רשמו את חמשת האיברים הראשונים של הסדרה. בסדרה זו נמחקו האיבר הראשון, השלישי, החמישי וכך הלאה (כל האיברים הנמצאים במקום אי-זוגי). חשבו את סכום 00 האיברים הראשונים שלא נמחקו בסדרה. חשבו את סכום 00 האיברים הראשונים שנמחקו בסדרה. א. 4, = = 0, 0 + = 7, , תשובה: 4, 7, 0,, 6, 9 ב. הסדרה שתיווצר לאחר המחיקה: רואים, שבסדרה החדשה 4, 7, 0,, 6, 9,, 5, 8, 7,, 9, 5, d = d = 6,a = 7 לכן סכום של 00 האיברים הראשונים יהיה: תשובה: ג. 0, האיברים שנמחקו גם הם מהווים סדרה חשבונית: בסדרה זאת 4, 0, 6,, 8,.d = 6,a = 4 נחשב את הסכום של 00 האיברים הראשונים: תשובה: 0,00 סדרה חשבונית 60

147 טריגונומטריה סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית חדה במשולש ישר-זווית היא זווית ישרה: C שבו הזווית,ABC ישר-זווית במשולש נתבונן = 90. ΑCB מכיוון שסכום שלוש הזוויות במשולש הוא 80, נסיק שסכום Β הן זווית כלומר Α ו- = 90 Β Α +, שתי הזוויות הנותרות הוא חדות. B B B C A C A C A הגדרות במשולש ישר-זווית, הצלעות היוצרות זווית ישרה מכונות ניצבים, והצלע ממול מכונה יתר. הניצב,AC היוצר זווית חדה A, מכונה הניצב שליד הזווית A. מכונה הניצב שמול הזווית BC והניצב A, הערה אפשר לסמן זווית בשלוש דרכים שונות: ) בשלוש אותיות, על-פי הקרניים שיוצרות אותה, כאשר האות השנייה מסמנת את קודקוד הזווית:. ABC סימון כזה הוא ארוך, אך מדויק וחד-משמעי. ) על-פי האות בקודקוד: B. סימון זה נוח עבור זווית בודדת, אך אינו חד-משמעי כאשר כמה קרניים נפגשות בקודקוד אחד, ולא ברור, לאיזו זווית שייכת האות: טריגונומטריה 6

148 על-פי קשת בין קרני הזווית כלל אות יוונית γ...) β, α, ובתוכה אות (בדרך ( נדמיין אונייה הגדרת הסינוס ששטה לאורך קו החוף מזרחה, אולם עקב רוח צד היא נסחפת לכיוון צפון. באונייה יש מכשירי ניווט המאפשרים למדוד את כיוון השיוט (זווית בין קו החוף לבין מסלול האונייה) והמרחק מנקודת ההפלגה.AB כיצד, על-פי כיוון השיוט והמרחק AB אפשר לדעת את התרחקות האונייה מהחוף?BC ברור, שמרחק זה תלוי בכיוון השיוט: אם הזווית CAB תהיה קטנה יותר,( CAB ) גם המרחק יהיה קטן יותר, ואם הזווית תהיה גדולה B C,( CAB ) גם המרחק B C יהיה גדול. נניח שמישהו הנמצא על חוף בנקודה C מודד את המרחק BC ומעביר אותו לאונייה. האם מידע זה יאפשר לחשב מרחק מהחוף גם בהמשך ההפלגה, כלומר בנקודות?...,B,B נתבונן במשולשים AB C,ABC ו-.AB C הם ישרי-זווית, ובעלי זווית חדה משותפת, CAB לכן, משולשים אלה הם דומים (על-פי שלוש הזוויות), ועבורם שווים יחסי הצלעות המתאימות: טריגונומטריה 6

149 כלומר: יחס הניצב שמול הזווית ליתר נשאר קבוע. יחס זה מכונה סינוס הזווית: B במשולש ישר-זווית, היחס בין הניצב שמול הזווית החדה ליתר מכונה סינוס הזווית. הגדרה A BC () AB C מכיוון שבמשולש ישר-זווית הניצב תמיד קטן מהיתר, מנוסחה () מקבלים: sin A < כלומר: במשולש, ערכו של סינוס זווית כלשהי תמיד קטן מ-. אם גודל הזווית ידוע, אפשר לחשב את הסינוס באמצעות מחשבון. לדוגמה: sin 5 = 0.8,sin 45 = 0.7,sin 0 = 0.5 וכו'. באמצעות נוסחה () אפשר למצוא את אחד משלושת הערכים: זווית, ניצב ממול ויתר, אם השניים האחרים ידועים. sina = דוגמה (מציאת הניצב מול הזווית). ספינה שטה בזווית של 0 לקו החוף. מה יהיה המרחק של הספינה מהחוף, אם היא עברה דרך של 800 מ'? על-פי השרטוט והנוסחה (): מרחק הספינה מהחוף שווה ל- ;BC נחלץ אותו מהנוסחה: BC = AB sin A נציב נתונים: (מ') = = 0 BC = 800 sin טריגונומטריה 6 דוגמה (מציאת היתר) מה הדרך שעברה עד שהתרחקה מהחוף ל- ספינה שטה בזווית של 0 לקו החוף. 00 מ'? AB =?.BC = 00, A = 0 נרשום נתונים בסימני השרטוט: מהנוסחה () נחלץ את :AB מ

150 מ( A דוגמה (מציאת הזווית) ספינה שטה בזווית לקו החוף. בנקודה מסוימת (B) נמדדה הדרך שהיא עברה:.BC = 70 ומרחקה מהחוף: (מ'),AB = 00 (' באיזו זווית לקו החוף שטה הספינה? תחילה נמצא את סינוס הזווית: כדי למצוא את הזווית עצמה, נשתמש במחשבון (ברוב המחשבונים פעולה זאת מסומנת כ- תשובה:.(sin A = 7 בדומה להגדרת סינוס הזווית, אפשר להגדיר עוד שתי פונקציות של זווית חדה במשולש ישר-זווית: הגדרה מהנוסחה () מקבלים: במשולש ישר-זווית, היחס בין הניצב שליד לזווית החדה ליתר מכונה קוסינוס הזווית. cos A < כלומר: במשולש, ערכו של קוסינוס זווית כלשהי תמיד קטן מ-. AC cos A = AB B () C מכיוון שבמשולש ישר-זווית הניצב תמיד קטן מהיתר, הגדרה במשולש ישר-זווית, היחס בין הניצב מול הזווית החדה לניצב שליד לזווית מכונה טנגנס הזווית. A B () מכיוון שבמשולש ישר-זווית יחס הניצבים יכול להיות מספר כלשהו AC),(BC <=> גם ערכי הטנגנס יכולים להיות BC tan A = AC C מספרים כלשהם. לדוגמה: = tan 85 =.4,tan 50 =.9,tan 5 = 0.47,tan בעזרת הנוסחאות () ו- () אפשר לחשב את הניצבים, היתר והזוויות במשולש ישר-זווית, אם ידועים שניים מהם. טריגונומטריה 64

151 מ( מ( (מציאת הניצב שליד הזווית על-פי גודל הזווית והיתר) דוגמה 4 סירה שטה בזווית של 7 לקו החוף. באיזה מרחק מהנמל תהיה על החוף נקודה, הקרובה של עברה דרך אם ידוע שהסירה ביותר לסירה, 500 מ'? הניצב שליד הזווית A במשולש ישר-זווית שהוא הקטע,AC את למצוא צריך.AB כאשר ידוע היתר,ABC הנוסחה המתאימה ביותר במקרה זה היא הנוסחה () של קוסינוס. AC = AB cos A ממנה מקבלים: AC = 500 cos 7 = = 400 מציבים נתונים ומקבלים תשובה: ') דוגמה 5 (מציאת הניצב על-פי הזווית ממול והניצב שליד) סירה שטה בזווית של 0 לקו החוף. באיזה מרחק מהחוף תהיה הסירה מול הנקודה C המרוחקת מהנמל (נק' A) 500 מ'? צריך למצוא את קטע BC ש, הוא הניצב שמול הזווית A במשולש ישר-זווית.AC כאשר ידועים הזווית והניצב השני,ABC הנוסחה המתאימה ביותר במקרה זה היא נוסחה () של טנגנס. BC = AC tan A ממנה מקבלים: מציבים נתונים ומקבלים תשובה: BC = 500 tan 0 = = 870 (' דוגמה 6 (מציאת הניצב על-פי הזווית והניצב מולה) סירה שטה בזווית של 0 לקו החוף. באיזה מרחק מהנמל נמצאת על החוף נקודה, הקרובה ביותר לסירה, אם ידוע שהמרחק בינה לבין הסירה הוא,000 מ'? טריגונומטריה 65

152 ידוע שהמרחק הקטן ביותר בין נקודה וישר שווה לאורך האנך מהנקודה לישר. מכך מסיקים כי המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית. במשולש זה נתון:.BC = 000, A = 0.AC צ"ל: מכיוון שנתונים ניצב וזווית וצריך למצוא את הניצב השני, הטנגנס: ונחלץ ממנה את AC : תשובה: (מ') AC = 74. נשתמש בנוסחת משפט ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית תלויים בגודל הזווית בלבד, ואינם תלויים בגודל ובמיקום המשולש. כלומר, לשני משולשים ישרי-זווית בעלי זוויות חדות והקוסינוס של אותה זווית שווים. שוות ערכי B הסינוס A B'' C''.A'B'C' נוכיח משפט זה עבור קוסינוס. נניח שלשני משולשים ABC ו- A'B'C' זוויות חדות שוות. צריך להוכיח שערכי הקוסינוס שווים: נשרטט בתוך המשולש הגדול ABC משולש AB''C'' ה, טריגונומטריה 66 חופף למשולש מכיוון ששני הקטעים B''C'' ו- BC מאונכים ל-,AC הם מקבילים:,B''C'' BC לכן שני המשולשים ABC ו- AB''C'' דומים. במשולשים דומים, היחסים בין צלעות מתאימות שווים: C' A' B'

153 ,A'B'C' ומכיוון שהמשולש שבנינו AB''C'' למשולש המקורי חופף כי מסיקים ערכי הקוסינוס של הזווית α הם שווים. משמעות המשפט היא שמספיק לחשב את ערכי הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של זווית מסוימת עבור משולש אחד, ולהשתמש בהם עבור כל משולש ישר-זווית אחר בעל אותה זווית. תרגילים מ צאו בעזרת המחשבון: א) sin cos 68 ג) sin 74 ד) cos ה) tan 0 ו) tan 70.. מה ערך הזווית אם ידוע ש: sin = א) = 0.87 sin cos = 0.55 ג) = cos ד) tan = 4.65 ה) = tan ו). שרטטו זווית α אם נתון: א) ג) = 0. α cos ד) B ו) = 0.4 α sin ה) מ צאו סינוס, קוסינוס וטנגנס של הזוויות A ו- B במשולש ישר-הזווית,ABC שבו C היא הזווית הישרה, אם נתון:.4 AC = 0,BC = א) = 8,BC AB = 7 AB = 5,AC = 4 AC = ג) =,BC ד) C A טריגונומטריה 67

154 B במשולש ישר-זווית ניצב אחד שווה ל- 8 ס"מ וסינוס הזווית שממול שווה ל מצאו את היתר ואת הניצב השני..5 C A a במשולש ישר-זווית היתר שווה ל- a ואחת מהזוויות החדות היא α. רשמו ביטוי טריגונומטרי המבטא את.6 הזווית השנייה ואת הניצבים. c =?? b =? במשולש ישר-זווית נתונים: הניצב a והזווית שמוּלו α. רשמו ביטוי טריגונומטרי המבטא את הזווית השנייה, את הניצב שמולהּ והיתר..7 a B 8. במשולש ישר-זווית נתונים: היתר BC = c והזווית החדה α.,ac רשמו ביטוי טריגונומטרי המבטא את AB הניצבים ו- c את הגובה AD על היתר ואת הקטעים BD ו-.DC רמז. שימו לב: המשולשים ABD ו- ADC גם הם ישרי-זווית. h D A C טריגונומטריה 68

155 ל( A פ ת רון משולשים קשרים בין הצלעות וזוויות במשולש ישר-זווית - סיכום השימוש בסינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר-זווית מאפשר לחשב את הניצבים, היתר או הזווית הבלתי ידועים, כלומר: לפתור משולש. במשולש ΑΒC אפשר לרשום: כלומר, א) הערות: a = c sin α, ידיעת אחת הצלעות והזווית במשולש ישר-זווית מאפשרת למצוא את שתי הצלעות האחרות, וידיעת שתי הצלעות מאפשרת למצוא את הצלע השלישית ואת זוויות המשולש. כדי לחשב את ערכי הסינוס, הקוסינוס והטנגנס, יש להיעזר במחשבון. c b B C a אפשר לפתור גם את הבעיה ההפוכה: לחשב את גודל הזווית על-פי הערך של הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של הזווית; גם לצורך זה יש להיעזר במחשבון הקליד ערך של סינוס/קוסינוס/טנגנס ולהקיש במקש /sin. cos /tan a דוגמה פ תרו משולש ישר-זווית (מצאו את הגדלים החסרים): א) על-פי שני ניצבים: = b. a = 4, α: א. נשתמש בהגדרת הטנגנס ונחשב את טנגנס הזווית c ב. נחשב את הזוויות באמצעות המקש - :tan tan α =. α = 5. b ג. נמצא את זווית החדה השנייה: נשתמש בעובדה שסכום של זוויות חדות במשולש ישר זווית שווה ל- 90, טריגונומטריה 69

156 β = = 6.9 לכן: ד. כדי לחשב את אורך היתר c נשתמש בהגדרה של סינוס: מכאן נחלץ את c:.β = 6.9,α = 5. תשובה: = 5,c a c על-פי הניצב והיתר: = 5 a ;c =, α: א. נשתמש בהגדרת הסינוס ונחשב את הזווית b α =. β = = 67.7 ב. נחשב את הזוויות β: ג. כדי לחשב את אורך הניצב השני, b, נשתמש בהגדרה של קוסינוס:.β = 67.7,α =. תשובה: =.09,b a c ג) על-פי היתר וזווית חדה: = 0 α c =, א. נחשב את הזווית השנייה: b α + β = 90 β = 90 - α = 90-0 = 70 ב. נחשב את שני הניצבים a ו- b: a = c sin α = sin 0 = 0.68; b = c sin β = sin 70 = ד) על-פי הניצב והזווית הנגדית: = 0 α a =, א. נחשב את היתר: טריגונומטריה 70

157 ב. הערה: עבור הזווית של 0 אפשר גם להשתמש במשפט: נחשב זווית שנייה: במשולש ישר-זווית שבו זווית חדה שווה ל- 0, אורך הניצב שממול לזווית זו שווה למחצית אורך היתר. β = 90 - α = 90-0 = 60 ג. נחשב ניצב שני באמצעות טנגנס הזווית α:.β = 60,c = 6 תשובה: = 5.7,b שטח של משולש B h b שטח של משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה לאותה צלע. לדוגמה, שטח המשולש ABC שווה ל- A b C A נסובב את המשולש במגמת השעון כך שבבסיסו תהיה צלע.BC = a h a שטח המשולש יהיה שווה ל- C a B C נסובב את המשולש פעם נוספת, כך שבבסיסו תהיה צלע ;AB = c h c ביטוי לשטח המשולש יהיה: B c A טריגונומטריה 7

158 c h a h b h c b מכיוון ששטח של משולש אינו תלוי בבחירת הבסיס, מסיקים, שאפשר להשתמש בכל אחת משלוש הנוסחאות: a h a c h b b נוסחאות אלה מתקיימות גם במשולש קהה זווית, כאשר גובה על הצלע שיוצרת זווית קהה, היא מחוץ למשולש, כמו הגבהים h a ו- h c בסרטוט: a h c כאשר המשולש הוא ישר-זווית, כל ניצב הוא גם גובה לניצב אחר, ונוסחאות השטח תהיינה: b c h c a דוגמה במשולש ישר-זווית נתונים הניצבים = 6,a b = 8 והיתר = 0 c. מצאו את הגובה ליתר h. c b c נמצא את שטח המשולש באמצעות הניצבים: נרשום את השטח באמצעות היתר וגובה עליו: h c =? a מכאן נחלץ את הגובה: תשובה: 4. טריגונומטריה 7

159 לסיכום: נוסחאות השטח מאפשרות למצוא את הצלע או הגובה שיורד עליה, כאשר ידועים שטח ואחד מהקטעים: h b כאשר המשולש הוא ישר-זווית, שני הגבהים h a ו- ניצבים, לכן ניתן לחשב את אורכם באמצעות הנוסחאות: הם גם M B דוגמה במשולש ישר-זווית ΑΒC נתון:,β הזווית =,(AM = MB) תיכון ליתר CM שטח המשולש MBC שווה ל- 0. מצאו את הזווית החדה השנייה ואת הניצבים. H.α = 90 - β = 90 - = 58 א. α: נחשב זווית A ב. מכיוון ש-,AM = MB ולשני המשולשים ACM ו- MBC גובה CH משותף, מסיקים שהשטח שלהם שווה: C,S ACM = S MBC ושטח המשולש ABC שווה ל- :40 A H M B C נסמן אחד מהניצבים ב-.BC = a a: על-פי הגדרת הטנגנס: ג. נציב בנוסחת השטח: מכאן מחשבים את הניצב :BC ואת הניצב השני: טריגונומטריה 7

160 פתרון משולש כללי כאשר משולש אינו משולש ישר-זווית, ניתן לחלקו לשני משולשים ישרי זווית על ידי שרטוט גובה המשולש כקו עזר. עתה, ניתן לחשב את הנעלמים של משולשים אלה ועל ידי כך לחשב את כל הנעלמים במשולש הכללי. שטח משולש קהה-זווית ABC הוא סמ"ר..ABC ס 6 "מ. מ צאו את גודל הזווית הקהה = AB ס 8 "מ; = BC דוגמה 4 נתון: A 6 ס"מ 8 ס"מ B C שימו לב! חשוב להקפיד על דיוק השרטוט בפתרון בעיה בגאומטריה ובטריגונומטריה! שרטוט מדויק מונע שגיאות הן במהלך הפתרון והן בשלב הבדיקה. A h הגובה קו את נעביר על בסיס h 6 ס"מ ABC המשולש.BC שטח המשולש H 8 ס"מ B C הוא: מכאן נחלץ את הגובה: נתבונן במשולש :AHB מכיוון ש- AH הוא גובה, המשולש הוא ישר-זווית, שבו ידועים היתר טריגונומטריה 74.AH והניצב AB לכן אפשר לחשב ניעזר במחשבון, ונמצא את הזווית: = 0. ABH את סינוס הזווית :ABH

161 מכיוון שהזווית ABH משלימה את הזווית ABC לזווית שטוחה (80 ), היא שווה ל- = = ABC. בשאלות שבהן נתון גובה על יתר של משולש ישר-זווית או על צלע של משולש כללי, מאתרים את המשולשים ישרי-הזווית שאותם יוצר הגובה, ומשתמשים בנוסחאות לשטח משולש ישר-זווית. B B B H H H L במשולשים הנ"ל זווית. דוגמה 5 C A A C A הגובה AH מחלק את המשולש המקורי לשני משולים ישרי- M במשולש ישר-זווית LMN נתונה זווית = 7. NML אורך הגובה ליתר הישרה. טריגונומטריה 75 NH ס"מ. 6 הוא NB א. מ צאו את הזווית בין חוצה-הזווית ליתר. NBH ב. מצאו את שטח המשולש.NBH הוא חוצה-הזווית א. מכיוון ש- NB חוצה זווית ישרה, נקבל: = 45. BNM זווית NBH היא זווית חיצונית במשולש,BMN לכן היא שווה לסכום הזוויות שממול: ב. המשולש NHB NBH = BNM + BNM = = 8 הוא משולש ישר-זווית, ידועים שבו הניצב שלידו. NBH= 8 נמצא את הניצב השני על-פי הגדרת הטנגנס: B H NH N C והזווית

162 מכאן נחלץ את הניצב BH ונמצא את שטח המשולש :NHB A דוגמה 6 הזווית במשולש שווה-שוקיים ABC נתון:,AB = BC BC AH ל- שבין הגובה לבסיס המשולש שווה ACH= 90-6 = 64 6, ואורך הבסיס הוא 8 ס"מ. א. מצאו את זוויות המשולש ;ΑBC ב. מ צאו, פי-כמה גדולה השוק AB מהבסיס.AC מכיוון שהמשולש AHC הוא משולש ישר-זווית, סכום הזוויות החדות שלו שווה ל- 90, לכן: מכיוון שהמשולש ABC הוא משולש שווה-שוקיים, זוויות הבסיס הן שוות, לכן: B CAB = ACH = 64 סכום הזוויות במשולש שווה ל- 80, לכן זווית הקודקוד היא: ABC = = 5 ), נרשום את הנוסחאות כדי למצוא את היחס שבין השוק AB לבסיס ) AC הטריגונומטריות שבהן מעורבות הצלעות AB ו- ;AC במשולש ישר-זווית :AHB במשולש ישר-זווית :AHC H C נחלק אגפים מתאימים של שני השוויונות טריגונומטריה 76

163 '. מ 4 תרגילים אורך הצל שאותו מטיל עמוד אנכי שגובהו 7 מ' שווה ל- מה גובה השמש במעלות מעל האופק?. 4 מ' בסיס משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים שווה ל- a. 7 מ' מצאו את שוקי המשולש. מצאו את הזוויות החדות והיתר במשולש ישר-זווית על-פי שני הניצבים: א) = 40 b a = 9, = b a = 0, ג) = 60 b a =, מצאו את הניצב השני והזוויות החדות במשולש ישר-זווית על-פי היתר וניצב: א) = 7 a c = 5, = 8 a c = 7, ג) = 84 a c = 85, מצאו את הניצבים והזווית החדה השנייה במשולש ישר-זווית על-פי היתר וזווית חדה: א) = 50. α c = 4, = 70.6 α c = 8, ג) = 76.5 α c = 6, מצאו את הניצב השני, היתר והזווית החדה השנייה במשולש ישר-זווית על-פי הניצב והזווית: א) = 40.8 α a = 5, = α a = 7, ג) = 68 α a = 9, במשולש ישר-זווית אחד הניצבים שווה ל- b, והזווית שמוּלו שווה ל- β. א) ב טאו את הניצב השני, את הזווית שמוּלו ואת היתר באמצעות b ו- β; מצאו את כל הערכים אם נתון: = b 0 ס"מ, = 50 β. 8. במשולש ישר-זווית אחד הניצבים שווה ל- b, והזווית הסמוכה לו שווה ל- α. א) בטאו את הניצב השני, את הזווית הסמוכה לו ואת היתר באמצעות b ו- α; מצאו את כל הערכים אם נתון: = b ס"מ, = 4 α. טריגונומטריה 77

164 ס( במשולש ישר-זווית היתר שווה ל- c, ואחת הזוויות החדות שווה ל- α. בטאו את הזווית החדה השנייה ואת הניצבים באמצעות c ו- α, ערכיהם אם נתון: ומצאו את "מ) = 4 c.α = 5,.9 הניצבים במשולש ישר-זווית שווים ל- a ו- b. בטאו באמצעותם את היתר ואת ערכי הטנגנס של הזוויות החדות, ומצאו את ערכיהם עבור = 5 b a. =, מצאו שטח משולש שווה-שוקיים, שבו הזווית שליד לבסיס שווה ל- α, אם נתון: א) השו ק שווה ל- b הבסיס שווה ל- a..0. טריגונומטריה 78

165 מלבן ומעוין מלבו הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. המלבן לשני משולשים כל אלכסון מחלק את לכן, שאותם אפשר לפתור בשיטות ישרי-זווית, חופפים שלמדנו בסעיף הקודם. ל- S = a b שטח המלבן שצלעותיו a ו- b שווה b.p = a + והיקפו אורך כל הצלעות B A דוגמה מצאו את הזווית שיוצרים אלכסוני המלבן, אם ידועה הזווית α שבין האלכסון לצלע a: נתבונן במשולש :AOB מכיוון שהאלכסונים מחלקים את המלבן למשולשים חופפים, הזווית OBA שווה לזווית, OAB לכן המשולש AOB הוא שווה- שוקיים:, OBA = OAB = α ומכיוון שסכום הזוויות במשולש הוא 80, a C מקבלים עבור הזווית בין האלכסונים:. AOB = 80 - α O b דוגמה במלבן ABCD נתון: = 5, OAD.AO = 5 cm מצאו את היקף המלבן. E D a. + b עלינו למצוא את b. ו- a נסמן את צלעות המלבן ב- נוריד אנך OE על הצלע.AD המשולש AOE שנוצר הוא ישר-זווית, כאשר AO הוא היתר ו- AE ו- OE הם הניצבים. לכן אפשר לרשום: OE = AO sin 5 = =.87 AE = AO cos 5 = = 4. a = AD = AE = 4. = 8. נחשב את הצלעות: b = OE =.87 = 5.74 (cm) P = a + b = = 7.88 חישוב ההיקף: טריגונומטריה 5 cm 79

166 ס 5 מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות זו לזו. תכונות נוספות של מעוין: כל שתי צלעות נגדיות הן מקבילות זו לזו. האלכסונים הם מאונכים זה לזה. כל אלכסון חוצה שתי זוויות נגדיות. כל אלכסון מחלק את המעוין לשני משולשים שווי-שוקיים חופפים. שני האלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי-זווית. שימוש בתכונות הנ"ל ובנוסחאות הפונקציות הטריגונומטריות מאפשר לפתור כל מעוין על-פי נתוני הבעיה. M N במעוין LMNR נתון: אורך הצלע "מ, דוגמה O הזווית החדה. MLR = 70 - מ צאו את: L H R א) אורך האלכסונים LN ו- MR גובה MH ג) שטח המעוין LMO א) במשולש ישר-זווית שנוצר על-ידי האלכסונים והצלע LM ידועים היתר LM והזווית,OLM שעל-פי תכונות המעוין שווה לחצי הזווית. MLO = 5 :MLR נשתמש בהגדרות של סינוס וקוסינוס במשולש ונמצא את ניצבי המשולש OL ו- :MO זה, MO = ML sin 5 = 5 sin 5 =.87 OL = ML cos 5 = 5 cos 5 = 4. מכאן מוצאים את האלכסונים: = 8. OL MR = MO = 5.74; LN = טריגונומטריה 80

167 ס( A במשולש ישר-זווית LMH שנוצר על-ידי הגובה והצלעות, ידועים: היתר LM והזווית = 70. MLH נשתמש בהגדרת הסינוס ונמצא את הניצב :MH MH = ML sin 70 = 5 sin 70 = 4.7 ג) שטח המעוין שווה למכפלת הבסיס בגובה: S = LR MH = =.5 דוגמה 4 במעוין, (המאגר, שאלה מס. 5) אורך אלכסון הוא 5 והאלכסון השני ארוך ממנו פי. א. ב. ג. א. ס"מ, חשבו את הגודל של זוויות המעוין. חשבו את היחס בין היקף המעוין לבין צלע המעוין. חשבו את היחס בין אורך האלכסון הארוך של המעוין לבין היקף המעוין. על-פי הנתון, אורך האלכסון השני שווה ל- "מ) = 5.5 שני האלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי-זווית חופפים. אורכי הניצבים שווים מחצית אורכי האלכסונים המתאימים: BO =.5, AO = 7.5 (cm) על-פי הגדרת הטנגנס: מכאן מחשבים את הזווית :BAO BAO = 8.4 גודל הזווית BAD כפול מזה של הזווית,BAO מכיוון שאלכסון המעוין הוא חוצה זווית: BAD = 6.86 מכיוון שבמעוין צלעות נגדיות מקבילות, סכום הזוויות BAD ו- ABC שווה ל- 80, לכן: B O D C ABC = 80 - BAD = = 4.4 טריגונומטריה 8

168 ב. ג. במעוין, כל הצלעות שוות וסכום אורכי של כולן שווה להיקף P. לכן ההיקף גדול מאורך של צלע פי 4, והיחס בין ההיקף לאורך הצלע הוא 4:. נסמן את אורך הצלע ב-. על-פי הגדרת הקוסינוס, במשולש ישר-זווית AOB מתקיים: נחלץ : היקף המעוין פי 4 גדול מאורך הצלע: (ס"מ) = = P אורך האלכסון הארוך שווה ל- 5 ס"מ, לכן היחס בין אורך האלכסון לבין ההיקף שווה ל- צלעות המלבן שוות ל- 5 ו- 6 ס"מ. מצאו את הזווית שבין אלכסוני המלבן. 5:.56 = 0.48 תרגילים?.?? אלכסוני המעוין שוות ל- 4.7 ו-.94 בהתאם. מצאו את זוויות המעוין.. צלע המעוין שווה ל- 4 מ' וגובהו 0 מ'. מצאו את זוויות המעוין..? 4 m 0 m? טריגונומטריה 8

169 ס 4. מצאו את זוויות המעוין שבו האלכסונים הם?? "מ ו-.46 ס"מ.? צלעות המלבן שוות ל- ס "מ ו-.7 ס"מ. מצאו את הזוויות בין האלכסון לצלעות המלבן..5? 6. אלכסוני המעוין הם- a ו-.7a. a מצאו את זוויות המעוין.?.7a?? האלכסון של המלבן ארוך פי- מאחת הצלעות. מ צאו את הזוויות שבין האלכסונים הראו שנקודות האמצע של צלעות המעוין מהוות קודקודי מלבן. טריגונומטריה 8

170 a תשובות ג) א) ו).747 ה) 0.76 ד) 0.97 ג) א).5. ו) 76.5 ה) 5. ד) הדרכה: שתי דרכים לפ תרון: א. לחשב זווית באמצעות המחשבון, ולהיעזר במד-זווית (דרך ארוכה); ב. לשרטט משולש ישר-זווית בקנה מידה כלשהו, כאשר יחס צלעותיו שווה לנתון. דוגמה: א) 0, 6.5 b a sinα, a cosα ;90 - α.6,β = 90 - α.7 b = b sinα,a = a cosα,b = c sinα,a = c cosα.8 ג) 0.8 ; ; 4.6 ; ; a א).68 ; 77. 4; ג) 8. ; 8.8 ; 8.07 ; 6.9 5;.4 א) 6.7 ; 7.7 4; ג) 5.55; ; 7.55; ;.5 א).08; ; ג) 9.7;.64 ; 8.04; ;.6 א) 7.65; ; (ס"מ) 40, , 7. א) (ס"מ) 48, 6,.8 א) טריגונומטריה 84

171 90 - α, c sin α, c cos α; 55, 4 cm, 0 cm , , 0..6 א) b sin α cos α 6.7, , , טריגונומטריה 85

172 4 המושגים הבסיסיים בסטטיסטיקה משתנה אקראי גודל שמאפיין מאורע מסוים, ושעשוי להשתנות מהתחרשות להתרחשות באקראי. דוגמאות א. המאורע - מדידת גובה תלמידי כיתה מסוימת. תוצאת המדידה - מספר (גובה בס"מ) - משתנה ממדידה למדידה באופן אקראי. לכן, הגובה הנמדד הוא משתנה אקראי. ב. המאורע הטלת קוביית משחק. תוצאת ההטלה הופעת מספר ג. (מ- עד 6) יכולה להשתנות מהטלה להטלה. לכן, המספר המופיע על פאת הקובייה הוא משתנה אקראי. המאורע בדיקת המבחן במתמטיקה בכיתה מסוימת. תוצאת המדידה - ציון - משתנה מתלמיד לתלמיד באופן אקראי. שכיח הערך הנפוץ ביותר, משתנה אקראי מכונה שכיח. דוגמאות א. בסדרת המספרים: המופיע מספר הפעמים הגדול ביותר בין כל הערכים של,,,, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 0, 5 השכיח הוא המספר 5 (מופיע בסדרה ארבע פעמים, לעומת, שמופיע שלוש פעמים, או 7 שמופיע פעמיים, או 0 4,, ו- 5 שמופיעים כל אחד פעם אחת). ב.ערכו של שכיח הוא לאו דווקא מספרי: הוא יכול להיות גם כל מאפיין אחר שכיחות (כגון שם עצם, צבע וכד'). השכיח הוא רותם. למשל, בסדרת שמות התלמידים: אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר מספר המופעים של ערך מסוים בסדרת כל הערכים מכונה שכיחות של אותו הערך. דוגמאות דוגמה נתונה סדרת מספרים:,,,, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 0, 5 סטטיסטיקה 86

173 נרשום את מספר ההופעות של כל מספר בטבלה: מספר שכיחות המספרים בשורה שנייה מהווים שכיחות הופעת כל מספר בסדרה. רואים שהשכיח (בעל שכיחות 4 ה- גבוהה ביותר) הוא המספר 5. דוגמה מטילים קובייה שעל פאותיה מספרים מ- עד 6. המספרים שעל הפאה העליונה היו כדלקמן:.,4,6,,,,4,4,,5,,,5,6,6,,4,,,5,,,,4,6,,, א) מה שכיחות הופעתה של הספרה 5? רשמו את ערכי השכיחות לכל הספרות. א) נסמן ונספור את המספר 5 בסדרת הנתונים:,4,6,,,,4,4,,5,,,5,6,6,,4,,,5,,,,4,6,,, שכיחות ההופעה של המספר 5 שווה ל = : 5 m בדומה נמצא שכיחויות של הופעת יתר הספרות: m = 7, m = 4, m = 5, m 4 = 5, m 6 = 4 שכיחות יחסית בדוגמה מצאונו ששכיחות הופעתה של ספרה 5 שווה ל-. האם זה הרבה או מעט? נניח שסדרת המספרים הנ"ל מייצגת הופעת ספרה מסוימת על פאה עליונה של קוביית משחק. מטילים קובייה פעמים. התוצאה: 5. 5, 5, שכיחות הופעתה של ספרה 5 היא. כעת, מטילים קובייה 0 פעמים. התוצאה:,4,6,,,,4,4,,5,,,5,6,6,,4,,,5,,,,4,6,,,,, גם במקרה זה שכיחות הופעתה של ספרה 5 היא. ברור, שבמקרה השני הופעתה של 5 היא הרבה יותר נדירה מאשר במקרה הראשון, שבו היא הופיעה ב- 00% מההטלות. סטטיסטיקה 87

174 לכן מגדירים את המושג של שכיחות יחסית, השווה ליחס לסה"כ מספר המאורעות בסדרה. נסמן את מספר כל ההטלות של הקובייה ב- M, של שכיחות המאורע ב- i את הספרה 6) =,,, 4, 5,,(i וב- m i את שכיחות הופעתה של הספרה i בסדרה של M הטלות. אז השכיחות היחסית של הופעת הספר i שווה ל- () כך, אם מתוך 0 הטלות ספרה מסוימת (5) הופיעה פעמים, שווה ל-: השכיחות היחסית אם הספרה 5 הופיעה פעמים מתוך הטלות, אז השכיחות היחסית תהיה שווה ל- מכיוון שמספר ההופעות של ספרה מסוימת ) i m) לא יכול להיות גדול ממספר כל ההטלות (M), ערכה של שכיחות יחסית היה i s. שכיחות יחסית באחוזים אם נכפיל את ערך השכיחות היחסית ב- 00, נקבל את ערכהּ באחוזים לדוגמה, הספרה אם מופיעה פעמים מתוך סה"כ הטלות, נקבל עבור השכיחות היחסית באחוזים: נוח לרשום את ערכי השכיכות, שכיחות יחסית ושכיחות יחסית באחוזים בטבלת שכיחויות. בדוגמה ראינו את רשימת הופעות הספרות בהטלות חוזרות של קוביית משחק:,4,6,,,,4,4,,5,,,5,6,6,,4,,,5,,,,4,6,,, ומצאונו את ערכי השכיכות לכל הספרות: m = 7, m = 4, m = 5, m 4 = 5, m 5 =, m 6 = 4 סטטיסטיקה 88

175 כדי לחשב את השכיחויות היחסיות, נספור את מספר כל ההטלות: M = 8 נשתמש בנוסחה () ונחשב את השכיחויות היחסיות: נכפיל את כל התוצאות ב- 00 ונקבל את ערכי השכיחות היחסית באחוזים. נמלא את טבלת השכיחויות: הספרה % 0. % % % % % שכיחות שכיחות יחסית שכיחות יחסית באחוזים מכיוון שסכום כל השכיחויות m i (מספרי הופעתן של כל ספרה) שווה למספר כל ההטלות M, נקבל עבור סכום השכיחויות היחסיות: כלומר: סכום כל הערכים של השכיחות היחסית עבור סדרת המאורעות הנתונה שווה ל-. או עבור שכיחות יחסית באחוזים: סכום כל הערכים של השכיחות היחסית באחוזים עבור סדרת המאורעות הנתונה שווה ל- 00% סטטיסטיקה 89

176 s i אם ידועים מספר ההופעות של מאורע מסוים (השכיחות) m i של אותו המאורע, אפשר לחשב את מספר המאורעות מכל הסוגים M: והשכיחות היחסית M s i M = m i בבחירות לכנסת האחרונות, השכיחות היחסית של המצביעים למפלגת דוגמה "השלום" היא 5%, ומספר הקולות שהיא קיבלה היה 55,000. כמה אנשים סה"כ השתתפו בבחירות? נשתמש בנוסחה שפיתחנו ונקבל: תלמידים בכיתה י' עשרה לפניכם רשימת הציונים של דוגמה המתמטיקה והאנגלית: 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 00 מתמטיקה: 0, 40, 40, 60, 60, 60, 70, 00, 00 אנגלית: א. מצאו את הציון השכיח בכל מקצוע. נרשום את טבלת השכיחויות של הציונים: מתמטיקה במקצועות ציון שכיחות 0 השכיח אנגלית ציון שכיחות השכיח סטטיסטיקה 90

177 תשובה: במתמטיקה, הציון השכיח הוא 70; באנגלית, הציון השכיח הוא 60. ושכיחות יחסית באחוזים של ציוני היחסית רשמו את ערכי השכיחות ב. המבחנים. = 0 M. נרשום את מספר כל הציונים. ברור שהוא שווה למספר כל התלמידים: שכיחות יחסית של כל ציון שווה ליחס השכיחות של אותו הציון למספר כל הציונים:,ושכיחות יחסית באחוזים שווה למספר זה כפול מאה. הטבלאות המתאימות: מתמטיקה ציון נמלא את % % % % % שכיחות שכיחות יחסית שכיחות יחסית ב-% אנגלית ציון % % 0. 0% 0. 0% % 0. 0% שכיחות שכיחות יחסית שכיחות יחסית ב-% סטטיסטיקה 9

178 5 הממוצע כיצד להשוות סדרות שונות של נתונים? על-פי מספר האיברים? על-פי האיבר הגדול ביותר או הקטן ביותר? אולי להשוות את שכיחות ההופעה של האיבר הגדול ביותר? מסתבר, שבמקרים רבים די לדעת את מעריכים את הצלחת הכיתה במבחן, ההשכלה של אוכלוסייה, הממוצע. ישנן כמה הגדרות לממוצע. בהמשך כסתם ממוצע. הממוצע של שני מספרים את המשכורת הממוצע את של כל הנתונים: צריכת חשמל במשפחה, הממוצעת הפשוט ביותר הוא הממוצע במשק ועוד ו- שווה למחצית סכומם: החשבוני, רואים שהממוצע יכול להיות בין שני המספרים (כמו במקרה א'), הוא יכול להיות שווה לאפס (מקרה ב'), הוא יכול להיות שווה לשני המספרים (כאשר הם שווים, כמו במקרה ג'). אם נסמן את המספרים ו- על ציר המספרים נקבל: כך, את על-פי למשל, רמת הערך שאותו נכנה דוגמאות א) ג) ממוצע א) ממוצע ג) ממוצע הממוצע של שני המספרים תמיד נמצא בנקודה האמצעית של הקטע ]. [, ממוצע של שלושה מספרים, ו- שווה לסכומם מחולק ב : סטטיסטיקה 9

179 דוגמאות א) ג) נסמן את המספרים, ו- על ציר המספרים: א) ג) גם כאן רואים שהממוצע נמצא בתוך קטע הציר המכיל את שלושת המספרים. ממוצע ממוצע ממוצע של המשקולות הכובד מרכז את החשבוני מהווה הממוצע לידיעת הסקרנים: שעליו המוט, שלהן שווים למספרים הנתונים. הנמצאות בנקודות ששיעורי- יישאר בשווי בנקודת הממוצע, ונתמך משקולות בנקודות המתאימות תלויות משקל. של קבוצת מספרים שווה לסכומם מחולק במספרם: במקרה הכללי, הממוצע אם כל ערכי הקבוצה,,, n הם שונים, אז: () כאשר N מספר כולל של הערכים. דוגמה ה רכב של תשעה שופטים העניק נקודות בתחרות, כפי שרשום בטבלה: מספר המתעמלת 4 מספר השופט לשתי מתעמלות עבור הופעתן איזו מתעמלת ניצחה? סטטיסטיקה 9

180 נחשב את הציון הממוצע של כל מתעמלת: המסקנה: המתעמלת הראשונה ניצחה, למרות שברור שמרבית () () הציונים של המתעמלת השנייה היו גבוהים מ- 5.0, ולראשונה כמעט כולם קטנים מ ההשוואה לטובת המתעמלת הראשונה נראית לא הוגנת. קרוב לוודאי זאת בעקבות החלטת השופט השני שהעניק ציון גבוה למתעמלת הראשונה, בהשוואה לשופטים אחרים, וציון נמוך במיוחד למתעמלת השנייה. כדי למנוע מצבים כאלה, בשנים האחרונות בתחרויות בינלאומיות משמיטים את הציון הגבוה ואת הנמוך ביותר מכלל הציונים. לאחר השמטת הציונים הקיצוניים נקבל:, מסיקים שהמתעמלת השנייה ניצחה. מכיוון ש- מטבלת הניקוד רואים שכמה שופטים העניקו ניקוד שווה; למתעמלת לאותה הראשונה המתעמלת שני המתעמלת הראשונה כך: העניקו שופטים. שלושה שופטים, אפשר לרשום ואת הציונים את את הציון 4.9 ו- 4.7 טבלת השכיחויות 4.8 העניקו של ציוני ציון ) i ( שכיחות ) i (m מכיוון שבחישוב הממוצע לפי הנוסחאות () סטטיסטיקה ו- () מחברים את כל הציונים, אפשר לקצר את הכתיבה, ולרשום כל ציון מוכפל בשכיחות הופעתו: 94

181 בדומה לכך אפשר לרשום את הציון הממוצע של המתעמלת השנייה: במקרה הכללי, כאשר שכיחויות הופעת הערכים,,, n הן:, m, m,, m n נקבל עבור הממוצע: () כאשר N הוא מספר הופעתם של כל הערכים (השווה לסכום כל השכיחויות): N = m + m + + m n בחודש יולי תלמידי כיתה י' עבדו בקטיף; דוגמה הבנים הרוויחו בממוצע, 000 והבנות בכיתה 5 בנים ו- 0 בנות. כמה כסף הרוויחו כל תלמידי הכיתה? א) כמה הרוויח בממוצע כל תלמיד בכיתה? נשתמש בנוסחת הממוצע (): סכום כל הערכים ממוצע = מספר הערכים ונמצא כמה הרוויחו הבנים והבנות בנפרד: נכפיל את שני האגפים במספר הערכים ונמצא את המבוקש: סכום כל הערכים = מספר הערכים כפול הממוצע עבור הבנים: מספר הערכים = 5, ממוצע = 000, לכן הבנים הרוויחו = 0,000 ( ) עבור הבנות: מספר הערכים = 0 ה, ממוצע = 800, לכן הבנות הרוויחו = 6,000 ( ) א) הבנים והבנות הרוויחו יחד: ( ) = סטטיסטיקה 95

182 מספר התלמידים בכיתה: = לכן, התלמידים הרוויחו בממוצע: ( ) כאשר שכיחות הערכים נתונה כשכיחות היחסית, הנוסחה () הופכת לנוסחה: () כאשר הם ערכי השכיחות היחסית (או שכיחות יחסית באחוזים). תרגילים. מ צאו את הממוצע של סדרת הנתונים:, -5, 4, -, -, א), 4,,, 5 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6 ג) -,,,, 5, 5 -, ד) מ צאו את הממוצע של סדרת הערכים 4) =,,, (i i המופיעים בשכיחות m i 5 i בהתאמה : א). 5 4 m i שכיחות i שכיחות m i מדדו בשיטות שונות משקל סגולי של חומר שממנו יצרו חלק מסוים, וקיבלו את סדרת הערכים שלפניכם: 6.98 ג'/סמ"ק, 7.04 ג'/סמ"ק, 7.0 ג'/סמ"ק, 6.97 ג'/סמ"ק, 7.00 ג'/סמ"ק. מצאו את הערך הממוצע. מאיזה חומר, לדעתכם, יצרו את החלק?. סטטיסטיקה 96

183 הוותק בעבודה של שמונה מורים המלמדים בכיתות י' של בית הספר הוא: 5 שנים, 8 שנים, 5 שנים, שנים, 7 שנים, 4 שנים, 8 שנים, 9 שנים. מה הוותק הממוצע של מורים אלה? בשיעור ספורט בכיתה י' התאמנו בנות הכיתה בקפיצה לגובה. התוצאות היו: 90 ס"מ, 5 ס"מ, 5 ס"מ, 0 ס"מ, 5 ס"מ, 5 ס"מ, 5 ס"מ, 5 ס"מ, 40 ס"מ, 40 ס"מ, 40 ס"מ. מה הגובה המתאר בצורה הטובה ביותר את רמת ההכנה של בנות הכיתה? בטבלה רשומים נתוני הוותק של עובדי מפעל. מה הוותק הממוצע של העובדים? ותק מספר עובדים 6 תכונות הממוצע א) ערך הממוצע אינו תלוי בסדר הופעת הנתונים הוכחה מכיוון שהממוצע שווה לסכום כל האיברים מחולק במספרם, וסכום המספרים אינו משתנה אם משנים את סדר הופעת המחוברים, אז גם ערך הממוצע אינו משתנה אם מחליפים את סדר האיברים. אם נוסיף (או נחסיר) מספר כלשהו לכל האיברים בסדרה, הערך הממוצע יגדל (או יקטן) באותו המספר. הוכחה תחילה נתבונן בממוצע של שני מספרים a ו- b; הממוצע שווה ל- נוסיף לכל איבר מספר איזשהו c: ערך הממוצע החדש: a a + c, b b + c סטטיסטיקה 97

184 נפתח סוגריים, נכנס איברים דומים, נציג שבר כסכום שני השברים ונקבל את מ.צ.ל: כלומר, הממוצע החדש גדול מהממוצע הקודם באותו המספר c שהוספנו לכל אחד מהאיברים a ו- b. מכיוון שפעולת החיסור שקולה לחיבור של מספר שלילי, נסיק שהמשפט שהוכחנו מתקיים גם עבור החיסור. בדיקה נבחר שני מספרים: - = b a; =,7 נחפש את הממוצע: נוסיף לכל איבר מספר = c: b + c = + = 0,a + c = 7 + = 8 נחשב את הממוצע: הממוצע גדול מהממוצע המקורי ב- = :c = +.4 המקרה הכללי כאשר הנתונים מכילים n איברים c,,a, b, קבוע לכל אחד מהם, נקבל תוצאה דומה: ומוסיפים מספר כלומר, הממוצע החדש שווה לממוצע הישן בתוספת אותו המספר שחיברנו לכל אחד מאיברי הסדרה. נחסיר אותו מהתוצאה ונקבל את הממוצע המקורי. הערה בתכונה זו של הממוצע נעזרים כאשר רוב הנתונים הם מספרים שליליים או גדולים; במקרה זה מוסיפים לכל איבר מספר חיובי c כזה, שכל האיברים יהפכו לחיוביים. מחשבים את הממוצע ומחסירים מהתוצאה את המספר c. סטטיסטיקה 98

185 נתונה סדרת המספרים: 0, 4, -5, -8,,,., מה הממוצע של הסדרה? דוגמה המספר הקטן ביותר הוא (0-). נוסיף לכל האיברים את המספר הנגדי (0), ונקבל את הסדרה הזאת:., 9,,, 5, 4, 0, 9 נחשב את הממוצע: נחסיר את המספר שהוספנו: - = 0.8 תשובה: - דוגמה נתונה סדרת המספרים: 5, 44,, 40, 8, 7, 9, מה הממוצע של הסדרה? נחסיר מכל איבר בסדרה את המספר 0, ונקבל סדרה חדשה: 5, 4,, 0, 8, 7, 9, נחשב את הממוצע: נוסיף לתוצאה 0 (המספר שהחסרנו מכל איבר) ונקבל את התשובה: תשובה: 7 ג) אם נוסיף לסדרת הנתונים מספר השווה לממוצע של הסדרה או נוציא מהסדרה איבר שגודלו שווה לממוצע, ערך הממוצע לא ישתנה. הוכחה תחילה נבדוק את הטענה על הדוגמה של שני מספרים כלשהם, למשל, 4 ו- 6; הממוצע שווה ל- נוסיף 5 ונקבל סדרת נתונים חדשה: 5. 6, 4, נחשב את הממוצע: נבדוק את הטענה עבור שלושה מספרים, למשל, 9, ו-. נחשב את הממוצע: סטטיסטיקה 99

186 נוסיף לסדרה מספר חדש, השווה לממוצע (8), ונקבל סדרה: 8., 9,, נחשב את הממוצע: הממוצע לא השתנה. באופן דומה אפשר להראות שהוצאת האיבר השווה לממוצע של הנתונים (אם איבר כזה נמצא בין הנתונים) לא תשנה את הממוצע. דוגמה 4 הממוצע של המספרים,,, 4, 5 הוא: האיבר עם הערך הזה נמצא בין הנתונים. נוציא אותו מהסדרה ונחשב ממוצע חדש: הממוצע לא השתנה. בסעיף ראינו שאפשר להציג את הממוצע של סדרת מספרים באמצעות הנקודה שעל ציר המספרים. בנקודה זו יש להציב תומך למאזני שהמאזניים יישארו בשווי משקל. הזרועות שבהם "תלויים" הנתונים, כדי a b c X ברור שאם נציב נתון נוסף בדיוק בנקודה שבה נמצא התומך האיזון לא יופרע; לחלופין, אם אחד מהנתונים כבר נמצא בנקודה זו האיזון לא יופרע אם נוריד אותו. זו המשמעות של הוספה או הוצאה של נתון השווה לממוצע. ד) אם נחלק סדרת נתונים לקבוצות בעלות מספר שווה של איברים ונחשב את הממוצע בכל קבוצה, הממוצע של כל הנתונים שווה לממוצע של ממוצע י כל הקבוצות. דוגמה 5 נתונים תשעה מספרים:.,, 6, 7, 8,,, 5, 7 נחשב את הממוצע: סטטיסטיקה 00

187 נחלק את המספרים ל- שלוש קבוצות: ונחשב את הממוצע של כל קבוצה: הממוצע של שלשת הממוצעים הוא: כלומר, הממוצע לא השתנה, מ.צ.ל.,(,, 6), (7, 8, ), (, 5, 7) דוגמה 6 (מאגר, שאלה מס. 44) א. ב. רשמו 5 ציונים שהנמוך מביניהם 50 והגבוה 98, כך שהממוצע יהיה 74. רשמו 5 ציונים שהנמוך מביניהם 50 והגבוה 98, כך שהממוצע יהיה 80. ג. האם ניתן לקבל ממוצע של 90 בעבור רשימה של 5 ציונים, בה הציון הנמוך ביותר הוא 50 והגבוה 98? ד. מה הממוצע הגבוה ביותר שניתן לקבל מרשימה של 5 ציונים, בה הציון הנמוך ביותר הוא 50 והגבוה 98? סטטיסטיקה 0 א. לשאלה זו יש אינסוף פתרונות! נמצא דרך להגיע אליהן. נשתמש בתכונה ג: הוצאת האיבר השווה לממוצע של הנתונים (אם איבר כזה נמצא בין הנתונים) לא תשנה את הממוצע. אם כלומר, אחד מהציונים שווה לממוצע מהרשימה, והממוצע לא ישתנה.,(74) אז אפשר להוציא אותו כעת נשאר עלינו למצוא שני מספרים, גדולים מ- 50 וקטנים מ- 98, כשאר הממוצע של הארבע יהיה : 74.98,, y, 50 על-פי התכונה ד, הממוצע לא ישתנה אם נחלק את הסדרה לשתי קבוצות, שבכל אחת שני ציונים, לדוגמה: בקבוצה אחת יהיו 98 ו- 50, ובשנייה ו- y. ממוצע הציונים בקבוצה הראשונה: ממוצע הציונים בקבוצה שנייה חייב גם להיות שווה ל- 74, על-מנת שגם הממוצע של שתי הקבוצות יהיה שווה ל 74. כלומר, חייב להיות:

188 הציונים החסרים יכולים להיות כל שני מספרים שסכומם שווה המסקנה: (אחת מאפשרויות רבות). ל- 48. לדוגמה: 60 ו- 88. תשובה סופית: 50, 60, 74, 88, 98 ב. בדומה לשיקולים של הסעיף הקודם, נקבע שאחד מהציונים החסרים שווה לממוצע.80 את ארבעת המספרים הנותרים נחלק לשתי קבוצות, לדוגמה: (98,50) ו- (y,), כאשר הממוצע של הממוצעים של שתי הקבוצות שווה ל- 80. נסמן את הממוצע של הקבוצה השנייה ב- :M הממוצע של הקבוצה הראשונה שווה ל- לפי הנתון, הממוצע של כל הסדרה חייב להיות 80: מכאן מוצאים את M: כלומר, והציונים M = = 86 סכום שני הציונים החסרים חייב להיות שווה ל- עצמם יכולים להיות כל המספרים, גדולים מ-, + y = 86 = 7 50 וקטנים מ-,98 המקיימים תנאי זה, לדוגמה: = 90 y. = 8, תשובה:.50, 80, 8, 90, 9 ג. נסמן את סכום ארבעת הציונים האחרים ב- M. על-פי הנתון, חייב להתקיים: מכאן מחלצים M: 50 + M = 450, M = 400 אולם, מכיוון שהציון הגבוה הוא 98, סכום של ארבעת הציונים האחרים לא יכול להיות שווה ל תשובה: לא. ד. הממוצע הגבוהה ביותר יהיה כאשר כל הציונים האחרים יהיו 98: סטטיסטיקה 0

189 תרגילים משקל חיילי היחידה בק"ג הוא: 68, 59, 7, 7, 60, 64, 58, 75, 66, 67 מ צאו את הממוצע של המשקלים. בבניין תשע דירות שמחיר כל אחת מהן בשקלים הוא:,00,000, 950,000,,80,000,,050,000,,950,000,,0,000,,00,000,,450,000,,800,000 מה המחיר הממוצע של דירה?.. 75 במשפחה שני אחים שגובהו של כל אחד מהם הוא ושלוש אחיות ס"מ,. שגובהה של כל אחת הוא 6 ס"מ. מה הגובה הממוצע של בני המשפחה? בתחרות השתתפו 0 קלעים. חמישה מהם צברו 8 נקודות כל אחד, שניים צברו 85 נקודות כל אחד, שמונה מהם - 90 נקודות כל אחד, וכל אחד מהנותרים צבר 95 נקודות. מה היה ממוצע הנקודות של חברי הקבוצה? בטבלה שלהלן רשומים נתוני הגובה של הילדים בכיתה מסוימת והשכיחות של כל נתון הגובה (בס"מ) 5 8 השכיחות מה הגובה הממוצע של הילדים? סטטיסטיקה 0

190 6. בטבלה רשומים הציונים השנתיים במתמטיקה של תלמידי ארבע השכיחות כיתות י' בבית ספר "השחר": מה הציון הממוצע בכל כיתה? הציון 40 י' י' י' י' מצאו, בדרך הפשוטה ביותר, את הממוצע של כל סדרת הנתונים: 59, 58, 57, 50, 54, 56 00, 0, 00, 770, 00 99, 99, 499, 699, 099 א. ב. ג. ד. לפניכם רשימת הציונים של תשעה תלמידים בכיתה י' במקצועות המתמטיקה והאנגלית:.8 מתמטיקה: 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 00 אנגלית: 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 00, 00 מצאו את הציון הממוצע בכל מקצוע. סטטיסטיקה 04

191 7 החציון החציון 5 דוגמה בנבחרת כדורסל של שכבה ט' שחקנים. נתוני הגובה שלהם מופיעים בטבלה: 5 4 מס. שחקן גובה (ס"מ) 5 הגובה הממוצע של השחקנים הוא: אולם ממוצע זה מציג תמונה מטעה, מכיוון שגובהם של ארבעה מתוך חמישה שחקנים של הקבוצה נמוך מהגובה הממוצע בהשפעת גובהו של שחקן מס. 4. בדוגמה אחרת נתבונן בנתוני המשקל של קבוצת האתלטיקה שבה - מתעמלים, מתאבקים ומרימי משקולות: אצנים, מס. האתלט משקל (בק"ג ( המשקל הממוצע הוא: גם במקרה זה משקלם של שבעה מתוך אחד-עשר הספורטאים קטן מהמשקל הממוצע. המשותף לשתי הדוגמאות הוא אי-האחידות של הנתונים: אחד או כמה ישנם נתונים קיצוניים שאָמנם משפיעים על הממוצע, אבל לא מייצגים את הקבוצה. במקרים כאלה מקובל לתאר את סדרת הנתונים באמצעות חציון החציון הוא הערך האמצעי של קבוצת נתונים, כאשר אלה מופיעים בסדר עולה או יורד 8 מדד 9 אחר 0 המכונה סטטיסטיקה 05

192 בדוגמה של גובה שחקני כדורסל נסדר את הנתונים בסדר עולה: 5, 60, 6, 64, 86 הערך המרכזי הוא 6 ס"מ (וזה ללא קשר לערכי הגובה האחרים שעשויים להשפיע על הממוצע!). נסדר את הנתונים בסדר עולה גם בדוגמה של משקל שחקני האתלטיקה: 5, 5, 57, 60, 64, 69, 70, 86, 87, 94, 98 החציון הוא 69. בדוגמאות אלה החציון היה הערך המרכזי, כלומר, מימינו ומשמאלו מספר שווה של ערכים. כאשר מספר הנתונים הוא זוגי לא קיים ערך מרכזי, והחציון מוגדר כממוצע של שני הנתונים האמצעיים. דוגמה נתונות שתי סדרות נתונים: (),,, 4, 4, 5, 5, 5, 8, (),, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7. מספר האיברים בסדרה () זוגי (0 = N), לכן החציון שווה לממוצע של שני הערכים המרכזיים, 4 ו- 5 : עבור סדרה (), החציון שווה לערך המרכזי (האיבר החמישי): 4. יש מקרים שבהם צריך למצוא את החציון של סדרת הנתונים שהשכיחות אינה שווה ל- עבור כל נתון, כמו בדוגמה של התפלגות הגבהים בקבוצת שחקני כדורגל: גובה (ס"מ) מספר שחקנים (שכיחות) יש לזכור שהחציון אינו שווה לחציון הערכים (אשר בדוגמה הנ"ל שווה ל- 80 ס"מ), אלא יש לקחת בחשבון את שכיחות הופעתו של כל נתון, ולמצוא את הנתון המרכזי. דוגמה לנ"ל: 65, 65, 65, 65, 65, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 80, 80, 80, 86, 9 החציון הוא 75 (ולא 80!) סטטיסטיקה 06

193 דוגמה (מאגר, שאלה מס. ) בטבלה שלפניכם מתוארת התפלגות הציונים של תלמידים בכיתה מסוימת ציון מספר התלמידים א. השכיחות היחסית של התלמידים שקיבלו ציון 6 היא 0%. חשבו את מספר התלמידים בכיתה. נרשום את הנתון בשפת האלגברה: ב. = 6 6 m (מספר התלמידים שקיבלו ציון 6 שווה ל-,(6 0. = 0% = 6 s (השכיחות היחסית =.(0% נרשום את הנוסחה לחישוב השכיחות היחסית:. ממנה אפשר לחלץ את הנעלם M:. נציב נתונים ונקבל: תשובה: 0 תלמידים. חשבו את מספר התלמידים שקיבלו ציון 7. בסעיף הקודם ח שבנו את מספר התלמידים בכיתה. מספר זה שווה למספר כל התלמידים שקיבלו ציון: ג. ד = 0 = 0 = 7 מה הציון השכיח? השכיח הוא הציון שאותו קיבלו מספר הגדול ביותר של תלמידים: 7. (לא להתבלבל! שבעה תלמידים קיבלו ציון 7). מהו חציון הציונים? סה"כ יש 0 ציונים. נסדר אותם בסדר עולה: 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7,.., 0, 0, 0 מכיוון שמספר האיברים בסדרה הוא זוגי, החציון שווה לממוצע של שני האיברים המרכזיים (מס. 5 ו- 6). שניהם 7, לכן הממוצע שלהם והחציון שווים ל- 7. תשובה: 7. סטטיסטיקה 07

194 ה. חשבו את ממוצע הציונים בכיתה. נשתמש בנוסחה לחישוב הממוצע. מכיוון שכל ציון מופיע אצל כמה תלמידים, צריך להכפיל אותו בשכיחות (מספר התלמידים שקיבלו ציון זה): תשובה: 7.7 ו. מהי השכיחות היחסית (באחוזים) של התלמידים שקיבלו ציון 9? את הציון 9 קיבלו 5 תלמידים מסך הכל 0, לכן השכיחות היחסית שווה: תשובה: 6.6% מ צאו את החציון בכל סדרת הנתונים: א. תרגילים 0,, 5, 7,,, 4, 8, 9,, 0 5, 7,, 8, 9, 7, 8, 4, 0,, 7, 0, 0, 5 8,, 5, 5, 7, 7, 6, 6, 6, 6,, 0 ב. ג. ד. ה. א. מ צאו את השכיח, הממוצע והחציון בכל אחת מסדרות הנתונים: -,,,,,, 4, 5, 5, 5,, 4,,, 5, 5,, 0,,,,,,,,,,,,,,,, ב. ג. ד. לפניכם רשימת הציונים של תשעה תלמידים בכיתה י' במקצועות המתמטיקה 40, 60, 60, 70, 70, 70, 80, 80, 00 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 00, 00 והאנגלית: מתמטיקה: אנגלית: מצאו את חציון הציונים בכל מקצוע.... סטטיסטיקה 08

195 4. בתחרות קליעה למטרה הושגו התוצאות האלה: מספר 9 הפגיעות 0 8 השכיחות 5 באחוזים א. ב. מה שכיחות הנתונים? מה הממוצע של מספר הפגיעות? הגרף מתאר את שכיחות הערכים שאותם מקבל גודל אקראי. א. מה השכיח של הנתונים? ב. מה הממוצע?.5 סטטיסטיקה 09

196 8 תיאור גרפי של נתונים דיאגרמת עמודות (מקלות) דרך אחת להציג את הנתונים ואת התפלגות השכיחויות היא טבלה. דוגמה המשתנה האקראי X הוא מידת נעל י התלמידים של כיתה מסוימת. טבלת השכיחויות היא: מידה מספר התלמידים אולם ייצוג נתונים באמצעות הטבלה אינו מאפשר להסיק מסקנות במבט אחד: מה המידה הכי נפוצה? מה המידה הממוצעת וכד'. מאפשר לעשות זאת הייצוג הגרפי של הנתונים. בדומה לתיאור הגרפי של קשר בין המשתנים האלגבריים (גרף של פונקציה), גם את המידע הסטטיסטי אפשר להציג באופן גרפי בצורה של דיאגרמת העמודות (או דיאגרמת מקלות). על ציר ה- מציינים את מאפייני הנתונים, לדוגמה: מספר (כאשר הנתונים ממוספרים), שם (חודש, מפלגה,...), או כל מאפיין אחר. גובה המקל מתאר את השכיחות (מוחלטת, יחסית או באחוזים). כך, לדוגמה, נראית דיאגרמת מקלות של מידות נעליים, התואמת לטבלה. כמו במקרה של גרף של פונקציה, יש לשים לב לשני הצירים: אילו מאפיינים מופיעים בציר-, אילו נתונים בציר- y, מה החלוקה, מה המרחק בין השנתות ומה הטווח? לדיאגרמת העמודות יכולה להיות צורה של מקלות או של מלבנים (היסטוגרם), כמו באיור זה: סטטיסטיקה 0

197 5 6 דיאגרמת מקלות מאפשרת הצגה מוחשית יותר מזו של נתוני הטבלה. את דיאגרמת המקלות הבאה מציגה לדוגמה, הופעתן של ספרות שונות בהטלת שכיחות הקובייה: מאפשרת במבט חטוף להעריך את הדיאגרמה מהות הנתונים. כך אנו שמים לב לכך שהספרה דבר 5, פעמים מהספרה הופיעה יותר מפי המצביע על פגם איזשהו בקובייה. דיאגרמת המקלות מתארת את דוגמה שקיבלו במתמטיקה הציונים התפלגות תלמידי תיכון "העתיד": מה חציון הציונים? של כל הציונים נמצא את המספר הכולל למספר התלמידים: השווה = 50 הציונים כבר מסודרים בסדר עולה ומספרם החציון שווה לממוצע של שני הוא זוגי. הציונים המרכזיים. מכיוון שמספר כל הציונים הוא 50, הציונים המרכזיים נמצאים במקומות ו- 6. מספירת מספרי התלמידים (גובה המקלות) עולה, שבמקומות 5 ו- נמצא הציון 80 (בקבוצה של 8 תלמידים המקל החום). לכן זה החציון של הסדרה. דוגמה שישה תלמידים נבחנו במבחן בלשון בשני מועדים. כמות השגיאות שנעשו על-ידם במועד א' רשומות בטבלה: התלמידים משה טל בר מור רחל דנה כמות 4 שגיאות ה סטטיסטיקה

198 א. ב. ג. ד. שרטטו דיאגרמת מקלות המתארת את ההתפלגות של מספרי השגיאות. מה המספר השכיח של השגיאות? מה החציון של מספרי שגיאות? מה הממוצע של מספרי שגיאות? א. דיאגרמת מקלות מתוארת בגרף שלפניכם: ב. המספר השכיח הוא 7 (לא!) מכיוון שהוא מופיע הכי הרבה פעמים (). ג. יש סך הכול שישה נתונים: 4, 6, 7, 7, 0, מספר האיברים בסדרה הוא זוגי, לכן החציון שווה לממוצע של האיברים האמצעיים, כלומר, 7. ד. חישוב הממוצע (שימו לב: כל ציון כופלים בשכיחות שלו!): ו. במועד ב' כל התלמידים שיפרו את תוצאותיהם, כך שכמות השגיאות אצל כל תלמיד פחתה ב-. מה הממוצע החדש של מספר השגיאות? מה סטיית התקן החדשה? אין צורך לחשב ממוצע מחדש! על-פי תכונות הממוצע, אם מוסיפים (או מחסירים) לכל נתון אותו מספר, הממוצע גדל (או קטן) באותו מספר.. במקרה שלנו הממוצע החדש יהיה שווה ל- דיאגרמת עיגול תרשים בצורת עיגול המציג את השכיחות (או את השכיחות היחסית) כשטח הגזרה של העיגול, (פרוסות בעוגה) מכוּנה דיאגרמת עיגול. מכיוון ששטח גזרה נמצא ביחס ישר לגודל הזווית המרכזית של הגזרה, יוצא ששכיחות האירועים מיוצגת הן על-ידי שטח הגזרה, הן על-ידי "רוחבהּ", סטטיסטיקה

199 והן על-ידי הצבע (או הגוון), דבר המסביר השימוש הרב בדיאגרמות העיגול במצגות. את כדי לשרטט דיאגרמת עיגול, יש לחשב את הזווית המרכזית של כל גזרה. מכיוון שסכום כל הערכים של שכיחות יחסית הוא 00% עיגול שלם (זווית של 60 ), אז לשכיחות של %n מתאימה הזווית: כמו בייצוגים האחרים, גם בייצוג העיגול מתקיים: והם ממלאים סכום הערכים של שכיחות יחסית עבור כל המאורעות שווה ל- (סכום כל הערכים של השכיחות באחוזים שווה ל- 00%). דוגמה בדיאגרמת העיגול מוצגות תוצאות המבחן בכיתה י'-. מה אחוז הכישלון של התלמידים במבחן? סכום כל השכיחויות באחוזים הוא 00%. לכן הערך הבלתי ידוע שווה ל- 00% - (0%+5%+8%+%) = 4% תשובה: 4% חברת הבנייה "חדרים" בנתה שכונה דוגמה 5 ו-,4.5,, שבה היו דירות בנות חדרים. העיגול מתארת את התפלגות דיאגרמת הדירות בשכונה: מה מספר החדרים השכיח בשכונה? א) מה החציון של מספר החדרים? ג) מה הממוצע של מספר החדרים? סטטיסטיקה

200 א. הנתון השכיח הוא הנתון בעל השכיחות הגבוהה ביותר בין כל הנתונים. מהדיאגרמה רואים, שהשכיחות הגבוהה ביותר היא 5%, שמייצגת דירות בנות 4 חדרים. תשובה: ארבעה חדרים. ב. מהדיאגרמה רואים שהערך המרכזי (החוצה את העיגול לשניים) עובר בתחום של ארבעה חדרים. תשובה: ארבעה חדרים. ג. לחישוב הממוצע נשתמש בנוסחה :() נציב את ערכי השכיחות היחסית (לא באחוזים! יש לרשום אותן כמספרים עשרוניים): תשובה: הממוצע של מספר החדרים שווה ל-.6. תרגילים 7. ציוני התלמידים מוצגים באמצעות דיאגרמת מקלות: y 0 א. מצאו את מספר התלמידים בכיתה. ב. מה השכיח של הציונים? תוחיכש ג. מה ממוצע הציונים? ד. מה החציון של הציונים? ןויצ סטטיסטיקה 4

201 9 הסתברות מ א ו ר ע בחיי היום-יום אנו נתקלים במצבים שונים שיכולים לקרות או לא לקרות. דוגמה מחר צפוי להתקיים מבחן במתמטיקה, אולם יש סיכוי קטן שהוא לא יתקיים; על הדופן העליונה של קוביית משחק הופיעה ספרה 5; במשפחת כהן יש חמישה בנים, קיים סיכוי שגם הילד השישי יהיה בן. שמות נרדפים למקרים אלה הם: מעשה, התרחשות, אירוע, תוצאת הניסוי המדידה ועוד; בתורת ההסתברות קורים להם בשם כללי מאורע. המאורע יכול להיות ודאי, בלתי-אפשרי ואקראי. או מאורע ודאי מאורע שיתרחש בוודאות בתנאים הקיימים. לדוגמה: א) לאחר יום חמישי הופיע יום שישי. בהטלת הקובייה הופיע מספר הקטן מ- 7. מאורע בלתי-אפשרי מאורע שאינו יכול להתרחש בתנאים הקיימים. לדוגמה: א) בהטלת קוביית-משחק הופיעה הספרה 7. המים בנחל קפאו בטמפרטורה של 5 C. מאורע אקראי מאורע שיכול להתרחש ויכול שלא להתרחש בתנאים הקיימים.. לדוגמה: א) בהטלת קוביית-משחק הופיעה הספרה ביום שני התלמיד הלך לבית-ספר. בחיי היום-יום המושג מאורע מסמן אירוע משמעותי; במתמטיקה הוא מסמן כל תוצאה אפשרית של המצב הנדון. המתמטיקאים הצרפתיים ב ל ז פ ס ק ל ופייר פ ר מ ה היו הראשונים שהשתמשו במושג זה בניתוח משחקי מזל כבר במאה 7. חוקי המאורעות האקראיים שולטים, בין היתר, גם בתהליך יצירת מולקולות ה- DNA הנושאות את המידע הגנטי של האדם. הסתברות 5

202 ה( הסיכוי של התרחשות המאורע האקראי נקרא הסתברות. תורת ההסתברות מלמדת כיצד להעריך את ההסתברות באופן כמותי. הסתברות היא מדד הסיכוי להתרחשות מאורע מסוים. את ההסתברות מסמנים באות P (מהמילה האנגלית:.(Probability ההסתברות של מאורע וודאי A שווה ל- = : ;P(A) ההסתברות של מאורע בלתי-אפשרית B שווה ל- = 0 : 0 ;P(B) ההסתברות של מאורע C שיכול להתרחש ויכול לא להתרחש היא: < P(C) < 0. כדי לחשב את הסתברות המאורע, צריך לדעת את מספר ההופעות של מאורע זה (מספר התוצאות "הרצויות") ומספר כל האפשרויות שבהן הוא יכול להתרחש. מספרהתוצאותהרצויות מספרכלהתוצאותהאפשריות דוגמה הסתברות ההופעה של המספר על גבי קוביית משחק שווה ל- (מספר כל התוצאות האפשריות הוא 6, ומספר הופעות המספר הוא ). דוגמה מאגר, מס. 8) זורקים שתי קוביות משחק. א. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיראו שתי הקוביות יהיה? קיים רק צירוף אחד של המספרים המהווה תוצאה רצויה: (6,6). מספר כל התוצאות האפשריות הוא 6 (יחד עם כל אחד מ- 6 המספרים שיכולים להופיע על קובייה אחת יכולים להופיע 6 המספרים על פני הקובייה השנייה). לכן ההסתברות שנדרשת שווה ל-. ב. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיראו שתי הקוביות יהיה 7? נרשום את צירופי המספרים הרצויים: (, 6), (, 5), (, 4) מכיוון שכל זוג מספרים יכול להופיע פעמיים (לדוגמה: (6,) ו (,6)), מסיקים שמספר התוצאות הרצויות הוא 6. הסתברות 6

203 מספר כל התוצאות האפשריות הוא 6. לכן ההסתברות הנדרשת היא: מאורע דו-שלבי לרוב, סביבנו מתרחשים מאורעות רבים יחד או אחד לאחר משנהו. לדוגמה: א. זורקים בו-זמנית שתי קוביות משחק; הופעת מספר מסוים על כל אחת מהן היא מאורע אקראי. ב. מוציאים כדורים צבעוניים בו-זמנית משני כובעים; הוצאת כדור בצבע מסוים היא מאורע אקראי. ג. קונים שני כרטיסי לוטו; זכייה של כל אחד מהם היא מאורע אקראי. המאורע שמורכב משני מאורעות "פשוטים" מכונה מאורע דו-שלבי. כדי לחשב את הסתברות המאורע הדו-שלבי, צריך לדעת הסתברויות המאורעות ה"פשוטים", אשר מהם מורכב המאורע הדו-שלבי ואת הקשר בין המאורעות, אם הוא קיים. מאורעות בלתי-תלויים מאורעות שהתרחשות של כל אחד מהם אינה מושפעת מעובדת התרחשות או אי-התרחשות של האחר. דוגמאות א) יורד גשם (מאורע א) והמניות בבורסה עולות (מאורע ב). בהטלת קוביית-משחק הופיע המספר 7 (מאורע א). בהטלה הבאה הופיע (מאורע ב). מאורעות זרים המאורעות שאינם יכולים להתרחש בעת ובעונה אחת. דוגמאות א) השחר עלה (מאורע א), על השמים הופיעו כוכבים (מאורע ב). בהטלת קוביית-משחק המספר הופיע פעמיים (מאורע א), וסכום המספרים בשתי ההטלות הוא (מאורע ב). הסתברות 7

204 מאורעות משלימים המאורע מכונה משלים למאורע A, אם הוא מתרחש בוודאות כאשר המאורע A אינו מתרחש. דוגמאות א) זכייה (מאורע A) ואי-זכייה (מאורע ( בהגרלה; ניצחון (מאורע A) והפסד (מאורע ( במשחק; ג) הופעת מספר זוגי (מאורע A) והופעת מספר אי-זוגי (מאורע ( בהטלת קוביית - משחק. מאורע חד-שלבי מאורע יחיד המבטא התרחשות או תוצאה בודדת. דוגמאות א) הופעת המספר על-גבי קוביית - משחק בהטלה בודדת; ק לּע לא פוגע במטרה בני סיון הירי הראשון. מאורע דו-שלבי מאורע שמורכב משני מאורעות חד-שלביים. דוגמאות א) סכום המספרים המופיעים על שתי קוביות-משחק (לאחר שתי הטלות) שווה ל- 7. שני הקלעים פגעו במטרה בניס יון הירי הראשון. מאורעות שווי-סיכוי מאורעות שונים שסיכויי התרחשותם שווים. לגבי שוויון הסיכויים אפשר להסיק משיקולי היגיון או סימטריה. לדוגמה: אם כדורים צבעוניים שאותם שולפים באקראי מכובע של קוסם עשויים מאותו חומר והם זהים במידות ובמשקל, אז סיכויי הוצאת כדורים בצבעים שונים הם שווים. הסתברות 8

205 שווים גם סיכויי עצירת הכדור ליד מספרים שונים במשחק רולטה, או הופעת אות מסוימת בסביבון, מכיוון שהצורות של גלגל הרולטה ושל סביבות השן הן סימטריות. דוגמאות נוספות: א) הופעות של מספרים שונים בהטלת קוביית- משחק; הופעת סמל או מספר על פני המטבע שנזרק. מאורעות שאינם שווי-סיכוי: א) נפילת פרוסה עם חמאה על צד מסוים (מרכז הכובד של הפרוסה נמצא קרוב יותר לצד המרוח). משיכת קוביית-דומינו בעלת מספרים שווים (ד בּ ל) ומשיכת קובייה בעלת מספרים שונים (סך הכול ישנן 7 קוביות ד בּל ו- קוביות אחרות). הערה הנוסחה לחישוב המאורע: מספרהמאורעותהרצויים מספרכלהמאורעותהאפשריים מתקיימת אך ורק אם כל המאורעות הם שווי-סיכוי! דוגמה "נוכיח" שהסתברות לכך שבבוקר ליד דלת הכניסה לבית תופיע ביצת דינוזאור שווה ל- : מספר המאורעות הרצויים שווה ל- (הביצה הופיעה). מספר כל המאורעות האפשריים שווה ל- (הביצה הופיעה והביצה לא הופיעה).! לכן ההסתברות שווה ל- איפה טעינו? הטעות היא בהנחה ששני המאורעות האפשריים הם שווי-סיכוי. הסיכויים אינם שווים (כמו שאומר הגיון), לכן השימוש בנוסחה אינו חוקי. דוגמה 0 תלמידים עורכים הגרלה באמצעות משיכת פתק מתוך כובע המכיל 0 פתקים; על פתק הזכייה כתוב "זכית!", על האחרים: "בוז!". א) מה ההסתברות שבמשיכה הראשונה נמשוך את פתק הזכייה? מה ההסתברות שבמשיכה הראשונה נמשוך את הפתק "בוז!"? הסתברות 9

206 א) המאורע הרצוי משיכת הפתק "זכית!". סך כל המשיכות האפשריות הוא 0; מספר המאורעות הרצויים (משיכת הפתק "זכית!"). לכן הסתברות הזכייה היא: המאורע הרצוי. משיכת הפתק מעוניינים לדעת מה הסיכוי שזה עלול לקרות). המשיכות האפשריות הוא ;0 פתקי"בוז!"). לכן הסתברות ההפסד היא:. דוגמה "בוז!" (ברור שזה לא רצוי, אבל אנחנו כמו במקרה הקודם, מספר המאורעות הרצויים 9 מספר כל 9 (ישנם גלגל הרולטה מחולק לארבעה חלקים שווים. מה ההסתברות שהמחוג המסתובב יעצור בגזרה? מכיוון ששטחי הגזרות של גלגל הרולטה שווים, קיימים יעצור: א) בגזרה 4 סך הכול בגזרה מאורעות שווי-סיכוי: ג) בגזרה אזי המחוג ד) בגזרה 4. מתוך אלה, מספר המאורעות הרצויים הוא אחד: המחוג יעצור בגזרה. לכן, על-פי הגדרת ההסתברות מקבלים:. מלבד המאורעות הבסיסיים המוגדרים בדרך ישירה (כמו בדוגמאות הנ"ל: "הופיע המספר 6" או "המחוג נעצר בגזרה "), קיימים מאורעות מורכבים יותר שבהם נדרש לקבוע האם המאורע משתייך למאורע רצוי או לאו. דוגמה 4 מה ההסתברות לכך, שלאחר הטלה אחת הופיע מספר זוגי על פני הקובייה? מאורע זה מתקיים בשלושה מקרים (מספר התוצאות הרצויות = ) כאשר מופיעים המספרים: 4, או 6. כל המאורעות האפשריים הם שווי-סיכוי ומספרם 6. הסתברות המאורע הרצוי שווה אפוא: מספרהתוצאותהרצויות מספרכלהתוצאותהאפשריות הסתברות 0

207 מטילים פעם אחת קוביית משחק. מה ההסתברות של הופעת מספר הגדול דוגמה 5 מ- 4 על הדופן העליונה? והופעת 6. 5 מתוך שש האפשרויות, המאורעות הרצויים הם שניים: הופעת מספרהתוצאותהרצויות מספרכלהתוצאותהאפשריות לכן: גלגל הרולטה מחולק ל- 8 גזרות שוות. דוגמה 6 מצאו את ההסתברות של הימצאות המחוג בשטח הכהה של הגלגל לאחר עצירת הגלגל. המחוג יימצא תוצאות שוות-סיכוי: שמונה קיימות מספר המאורעות 8. בגזרה...,, בגזרה, בגזרה הרצויים הוא (הגזרות 5 4, או 6). מספרהתוצאותהרצויות לכן ההסתברות שווה ל- מספרכלהתוצאותהאפשריות כאשר המאורע A הוא ודאי (כלומר הוא יתרחש בהכרח), כל מאורע הוא רצוי; מספר המאורעות הרצויים שווה למספר המאורעות האפשריים, וההסתברות.P(A) = דוגמה 7 מטילים קוביית משחק; מה ההסתברות של הופעת מספר הקטן מ- 7? מספר כל המאורעות האפשריים הוא 6; כל מספר שעשוי להופיע הוא קטן מ- 7 (,,..., 6), כלומר מספר המאורות הרצויים הוא 6; לכן ההסתברות היא כאשר המאורע A הוא בלתי אפשרי, מספר המאורעות הרצויים שווה לאפס (הרי המאורע לא יתרחש לעולם), וההסתברות = 0.P(A) דוגמה 8 מטילים קוביית משחק; מה ההסתברות של הופעת מספר הגדול מ- 6? המאורע הרצוי הוא בלתי-אפשרי; לכן ההסתברות שווה לאפס. הסתברות

208 תרגילים מנו את כל המאורעות הבסיסיים ושווי-הסיכוי אשר עשויים לקרות: א) מהטלת מטבע; מהטלת קוביית משחק; ג) מהטלת ארבעון שפאותיו ממוספרות מ- עד 4; ד) סיבוב גלגל הרולטה המחולק ל- 5 גזרות המסומנות באותיות D C, B, A, ו- E. בתיבה נמצאים כדורים לבנים ו- שחורים; מוציאים באקראי כדור אחד. מה ההסתברות שהוצאנו: א) כדור לבן כדור שחור ג) כדור אדום ד) כדור לבן או כדור שחור? אדומים; 4 שחורים ו- כדורים לבנים, בתיבה נמצאים מוציאים באקראי כדור אחד. מה ההסתברות שהוצאנו: ג) כדור אדום כדור שחור א) כדור לבן ו) לא כדור אדום? ה) לא כדור שחור ד) לא כדור לבן על קלפים זהים רשומים המספרים עד 0 (על כל קלף מספר אחד). הניחו את הקלפים על השולחן, הפכו אותם עם המספרים כלפי מטה וערבבו. משכו באקראי קלף אחד. מה ההסתברות שעל הקלף יהיה רשום: ג) כפולה של מספר זוגי א) מספר 7 ו) מספר ראשוני? ה) מספר המתחלק ב- 5 ד) כפולה של 4 נאור שכח את הספרה אחרונה של מספר הטלפון של חברה לכיתה. הוא מחייג אותה באקראי. א) מה ההסתברות שנאור ניחש נכון? מה ההסתברות שינחש נכון אם הוא בטוח שזו איננה הספרה 0? להגרלה הנפיקו 000 כרטיסים, ביניהם 0 כרטיסי זכייה בפרס הגדול ועוד 00 כרטיסים שזוכים בפרס ניחומים. נועה רכשה כרטיס אחד. בהנחה שההגרלה היא הוגנת, מה ההסתברות שנועה תזכה: א) בפרס הגדול בפרס ניחומים ג) בפרס כלשהו ד) בשום פרס. הסתברות

209 הסתברות.7 תוכנה מחוללת בחינות בוחרת באקראי שאלה אחת למבחן בגאומטריה מתוך מאגר נתון בן שאלות. 5 תלמיד שהתכונן לבחינה פתר ההסתברות שהתלמיד יקבל במבחן שאלה מבין אלו שפתר?.8.9 א) ג) צבעו את שש פאותיה של קוביית עץ ונסרו אותה ל- 7 קוביות קטנות ע"י שישה חתכים: שניים לאורך, שניים לרוחב ושניים לגובה. בחרו אחת מהקוביות באקראי. מה ההסתברות של כל אחד מהמאורעות הבאים: A לקובייה הקטנה שלוש פאות צבועות. B לקובייה הקטנה שתי פאות צבועות. C לקובייה הקטנה פאה אחת צבועה. ד) D לקובייה הקטנה אין אף פאה צבועה. מלאו את הטבלה: מס. משימה המשימה מספר כל המאורעות שווי-סיכוי המאורע A הטלת קוביית משחק הטלת קוביית משחק הוצאת אבן אחת מסט שלם של אבני דומינו המספר שהופיע - אי-זוגי המספר שהופיע - כפולה של הוצאת האבן הוצאת אבן אחת מסט שלם של אבני דומינו סיבוב גלגל הרולטה המחולק ל- 8 גזרות שוות וממוספרות סיבוב גלגל הרולטה המחולק ל- 8 גזרות שוות וממוספרות הוצא דאבל המחוג נעצר בגזרה שמספרה - כפולה של 4. מחוג נעצר בגזרה שמספרה לא גדול מ- 6. מהשאלות. מספר מאורעות רצויים מה הסתברות מאורע A

210 הסתברות 4 0. הסתברות של מאורע מורכב מאורעות משלימים מכיוון שכל מאורע או שיתרחש או שלא יתרחש, סכום ההסתברויות של מאורע ומאורע משלים שווה ל- : מכאן אפשר לחשב את ההסתברות של מאורע משלים, המאורע A: דוגמה הסתברות הפגיעה של הק כאשר A מסמן את אירוע הפגיעה. מצאו את הסתברות ההחטאה. לּע במטרה נעה היא = 0.8,P(A) פגיעה והחטאה הינן מאורעות משלימים (או שפוגע או שמחטיא). לכן הסתברות ההחטאה היא: דוגמה אם ידועה הסתברות במסיבה שהשתתפו בה 00 אנשים חילקו באקראי 00 כרטיסי הגרלה, ביניהם 5 כרטיסים זוכים. כל משתתף קיבל כרטיס אחד. מה ההסתברות שמשתתף מסוים קיבל: א) א) כרטיס זכייה כל משתתף היה יכול לקבל כל אחד מ- 00 הכרטיסים, כרטיס שלא זוכה? כלומר מספר כל האפשרויות עבור המשתתף המסוים שווה ל- 00. מספר המאורעות הרצויים שווה למספר כרטיסי הזכייה, ששווה ל- 5. לכן ההסתברות שווה ל- לפעמים מבטאים את ההסתברות באחוזים, לכן אפשר לרשום מספר הכרטיסים שאינם מתאימים זוכים שווה ל-.P(A) = 5%,95 95 שווה אפוא ל- 5% א) תשובה: מאורעות..95% לכן למאורע ה"לא רצוי" ההסתברות שמשתתף מסוים יקבל כרטיס שלא זוכה

211 דוגמאות נוספות למאורעות משלימים: "זכייה" ו"לא זכייה" במשחק כלשהו (מדוע לא "זכייה" ו"הפסד"?) ) "הופעת התמונה" ו"הופעת המספר" בהטלת מטבע; ) (כלומר, הופעת 4,,, "הופעת המספר " ו"הופעת כל מספר שאינו " ) על דופן קוביית המשחק לאחר הטלה אחת; 5 או 6) 4) "עצירת מחוג הגלגל של רולטה בגזרה " ו"עצירת מחוג הגלגל של רולטה בגזרה שמספרה אינו " (כלומר בגזרה, או ;(4 5) "הופעת מספר שהוא כפולה של " ו" הופעת מספר שאינו כפולה של " (כלומר הופעת 4,, או 5) כתוצאה של הטלת קוביית המשחק. א) ג) ד) ה) ו) נחזור לדוגמה שבה חישבנו (בסעיף את ההסתברות שהמשתתף יקבל כרטיס שאינו זוכה. את אותה תוצאה אפשר לקבל באמצעות הנוסחה (): אי-זכייה היא מאורע משלים לזכייה, לכן- תרגילים מה המאורע המשלים למאורע הנתון: בהטלת המטבע יצא מספר; בהטלת קוביית משחק הופיע מספר 5; בהטלת קוביית משחק הופיע מספר זוגי; בהגרלת טוטו הכרטיס של תמיר זכה; מחוג של רולטה נעצר בגזרה 4; מתיבה שנמצאים בה כדורים לבנים ו- שחורים הוציאו באקראי כדור לבן? הסתברות זכייה של כרטיס אחד בהגרלה בית-ספרית שווה ל-. א) 0.0 מה ההסתברות של משיכת הכרטיס שאינו זוכה? הסתברות 5..

212 המאורע A מסמן את הופעת המספר הקטן מ- 5 בהטלת קוביית משחק. מה המשמעות של המאורע? מצאו את המבוטא באחוזים. מה ההסתברות שכתוצאה של הטלה אחת של קוביית משחק לא יופיע המספר 6? מה ההסתברות שאבן שתוצא מאוסף של אבני דומינו לא תהיה ד בּל (כפול)? בתיבה נמצאים כדורים לבנים, 4 שחורים ו- 5 אדומים. מה ההסתברות שכדור שיוצא באקראי יהיה: ג) לא אדום? א) לא לבן לא שחור המאורע B מסמן פגיעה במטרה של לפחות קליע אחד. מה המשמעות של המאורע?. איחוד מאורעות (חיבור של הסתברויות) אם A ו- B הם מאורעות שאינם יכולים להתרחש בעת ובעונה אחת (כלומר, A ו- B הם מאורעות זרים), אז הסתברות ההתרחשות של אחד משני המאורעות שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד - C מאורע - (איחוד המאורעות) מהמאורעות: P(C) = P(A) + P(B) דוגמה מטילים קוביית משחק. מה ההסתברות שהמספר שיופיע יהיה 5 או? שני המאורעות הופעת המספר 5 (מאורע A) והופעת המספר (מאורע B) - אינם יכולים להתרחש יחד (יכול להופיע 5 או ), ולכן הם מאורעות זרים והסתברות ההתרחשות של אחד מהם שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהם. מכיוון ש- ו-. נקבל: דוגמה שטח שונה, גלגל הרולטה מחולק ל- 5 גזרות א' ה' בעלות כפי שמסומן באיור. מה ההסתברות שלאחר סיבוב, מחוג הגלגל יעצור בגזרה א' או גזרה ב' או בגזרה ג'? הסתברות 6 הסתברות הימצאותו של המחוג בגזרה מסוימת נמצאת ביחס ישר לשטח הגזרה. א ה ג ב 0% 40% ד 5% 0% 5%

213 ד- מכיוון שהמחוג יכול להימצא בגזרה אחת בלבד, הימצאותו בגזרה א' או בגזרה ב' או בגזרה ג' הינן מאורעות זרים (שלא יכולים להתרחש בעת ובעונה אחת), אז ההסתברות המבוקשת שווה לסכום ההסתברויות: P(C) = 0% + 5% + 0% = 45% = חיתוך מאורעות בלתי תלויים (מכפלה של הסתברויות) דוגמה גלגל רולטה מחולק ל- 4 אזורים (א' '); כל אזור מחולק לגזרות ממוספרות. כל הגזרות בעיגול שוות. מה ההסתברות שמחוג הגלגל יעצור בגזרה מס. של אזור ד'? דרך א. מכיוון ששטחי כל הגזרות שווים, שווה גם הסתברות ההימצאות של המחוג בכל אחת מהגזרות. סך הכול קיימות 0 אפשרויות שמתוכן אחת היא רצויה,. לכן ההסתברות שווה ל- דרך ב. תחילה נחשב את הסתברות הימצאות המחוג באזור ד'. מכיוון ששטח האזור שווה ל- משטח העיגול (4 גזרות מתוך 0), ד. גם הסתברות זו שווה ל- בתוך האזור המחוג יכול לעצור בכל אחת מ- ה 4 גזרות, שמתוכן אחת (גזרה מס. ) היא רצויה.. לכן, הסתברות העצירה בגזרה כאשר המחוג נמצא באזור ד' שווה ל- מהשוואה של P ו- עם התוצאה שהתקבלה בדרך I אפשר להסיק: ד ד P הסתברות 7

214 אם המאורעות A ו- B הם בלתי-תלויים (כלומר: התרחשות של אחד מהם אינה משפיעה על הופעת השני), ההסתברות P(C) של המאורע C ששני המאורעות יתרחשו בעת ובעונה אחת (חיתוך המאורעות), שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהם: P(B) P(C) = P(A) דוגמה גלגל רולטה מחולק ל- 4 אזורים (א'- ד'), ששטחם הכולל כמו בדוגמה ; כל אזור מחולק לגזרות שוות וממוספרות. הגזרות באזורים א', ב' ו- ג' שוות לגזרות שבדוגמה, שטח הגזרות באזור ד' שונה (בדוגמה זו האזור מחולק ל- 5 גזרות ולא ל- 4). מה ההסתברות שמחוג הגלגל יעצור בגזרה מס. של אזור ד? מכיוון ששטחי הגזרות באזור ד' שונים מאזורים אחרים, הסיכוי להימצאות המחוג באחת הגזרות של האזור ד' שונה מהסיכוי להימצא בכל גזרה של אזורים אחרים; לכן המאורעות הם אינם שווי-סיכוי, ואי-אפשר לחשב את ההסתברות כיחס של מספר המאורעות הרצויים. אי-לכך, דרך א אינה מתאימה. נתייחס למאורע הנדון כמאורע דו-שלבי: השלב הראשון הימצאות המחוג באזור ד'. הסתברות המאורע הזה היא ביחס ישר לשטח האזור, וכמו בדוגמה : ד השלב השני הימצאות המחוג באחת הגזרות של אזור ד' (גזרה ). הסתברות מאורע זה שווה ליחס של מספר המאורעות הרצויים () למספר כל האפשרויות (5 על-פי מספר הגזרות): שני המאורעות הימצאות המחוג באזור ד' והימצאותו בגזרה בתוך אזור זה יכולים להתרחש בעת ובעונה אחת, לכן הם בלתי-תלויים, והסתברות המאורע הרצוי שהוא - חיתוך שני מאורעות שווה למכפלה: ד הסתברות 8

215 הטלת שתי קוביות משחק במשחק שש-בש מטילים שתי קוביות משחק הוגנות (כלומר, כאלה שקיימים בהן סיכויים שווים להופעת כל מספר מ- עד 6). כתוצאה, יכולים להופיע צירופי מספרים שונים (ראו שאלות 54, 5, 8, 7, 6, 8, 55 במאגר).. בסעיף זה נחשב את ההסתברויות של צירופים אופייניים שונים. הופעת צירוף המספרים הרצוי (המספרים אינם זהים). נניח שצריך להוציא (,4). מה הסיכוי לכך? הסתברות ההופעה של מספר מסוים () על גבי קובייה אחת היא - הסתברות ההופעה של מספר שני (4) על קובייה אחרת גם היא -. שני המאורעות הם בלתי-תלויים (כלומר יכולים להתרחש יחד), לכן הסתברות למכפלה: החיתוך של שניהם (הופעה משותפת של שני המאורעות) () שווה סדר הופעת המספרים אינו חשוב, ולכן התוצאה תהיה זהה אם על גבי הקובייה הראשונה יופיע המספר 4, ועל השנייה. הסתברות המאורע הזה גם היא שווה ל-. שני המאורעות ( 4) ו- (4 ) הם מאורעות זרים (רק אחד מהם יכול להתממש). ההסתברות של איחוד מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות; לכן נקבל עבור הסתברות ההופעה של הצמד 4 (נסמן אותה ב- (,4)P):. הופעת מספרים זהים מסוימים מה הסיכוי להוציא (,)? הסתברות ההופעה של על-גבי הקובייה הראשונה שווה ל -. הסתברות ההופעה של על-גבי הקובייה השנייה גם היא שווה ל -. המאורעות הם בלתי-תלויים, ולכן ההסתברות הנדרשת שווה למכפלה: הסתברות 9

216 הדא(. הופעת מספרים זהים כלשהם מה הסיכוי להוציא ד בּל כלשהו? הסתברות ההופעה של צמד מספרים זהים מסוימים היא -. מכיוון שהופעות הצמדים (n,n) בלים) השונים ;,) ;, ;, ;4,4 5,5 ו- 6,6) הם מאורעות זרים (שאינם יכולים להתרחש בעת ובעונה אחת), ההסתברות הנדרשת שווה לסכום כל ההסתברויות: הופעת סכום מספרים מסוים א) נרשום את כל הצירופים האפשריים המרכיבים את הסכום הנתון; נרשום את ההסתברות של כל הצירוף כפי שמצאנו בסעיפים הקודמים; ג) נחבר את ההסתברויות של כל המאורעות הזרים..4 דוגמה מה ההסתברות שסכום המספרים על-גבי שתי הקוביות יהיה 5? א) הצירופים האפשריים:,4;,; כפי שמצאנו בסעיף : (,4) ו- ג) המאורעות (,) הם מאורעות זרים, לכן: דוגמה מה ההסתברות שסכום המספרים על-גבי שתי הקוביות יהיה 8? א) הצירופים האפשריים: ;6, ;,5 4,4 כפי שמצאנו בסעיף : כפי שמצאנו בסעיף : ג) כל המאורעות הם מאורעות זרים, ולכן מחברים את ההסתברויות: הסתברות 0

217 5. אי-הופעת מספר מסוים כאשר היריב במשחק שש-בש צריך להחזיר אבנים ללוח, אנו מקווים שלא יופיע מספר מסוים על-גבי הקוביות שהוא יטיל. מה ההסתברות לכך? ברור שאי-הופעת מספר מסוים הוא המאורע המשלים להופעתו של מספר זה (ראו סעיף 4. ). לכן די לחשב את הסתברות ההופעה של המספר הנדון, ולהשתמש בנוסחה למאורע המשלים. דוגמה מה הסיכוי שאם נטיל את הקובייה פעם אחת לא יתקבל המספר? הסיכוי שיופיע מספר הוא (מאורע רצוי אחד מתוך סה"כ 6 אפשרויות). הסיכוי שלא יופיע מספר הוא מאורע משלים שסיכויו: דוגמה מה הסיכוי שאם נטיל את הקובייה פעמיים לא יתקבל המספר ולו פעם אחת? שתי ההטלות הן מאורעות בלתי-תלויים, לכן ההסתברות ששניהם יתקיימו שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהם: סביבון על הפאות של סביבון חנוכה רשומות האותיות נ, ג, ה ו- פ. מסובבים את הסביבון פעם אחת. א) מה הסיכוי שתופיע אות מסוימת? מה הסיכוי שלא תופיע אות מסוימת? א) מתוך 4 אפשרויות היתכנות המאורע הרצוי (הופעת אות מסוימת) הוא אחד. לכן הסתברות ההופעה של אות כלשהי שווה ל - : P( נ( = P( ג( = P( ה( = P( פ( = הסתברות

218 ג) אי-הופעת אות היא מאורע משלים להופעתה. לכן הסיכוי שאות מסוימת לא תופיע בסביבון שווה ל - : = 4 פ( נגהP( מסובבים סביבון שתי פעמים. א) מה הסיכוי שאות מסוימת תופיע פעמיים? מה הסיכוי שאות מסוימת לא תופיע אפילו פעם אחת? ג) מה הסיכוי שאות מסוימת תופיע בדיוק פעם אחת? ד) מה הסיכוי שאות מסוימת תופיע לפחות פעם אחת? א) הסיכוי של הופעת האות בסיבוב הראשון שווה ל -. סיכוי הופעתה של אותה אות בסיבוב השני הוא גם. שני המאורעות הם בלתי תלויים (יכולים להתרחש יחד), לכן ההסתברות של ההתרחשות של שניהם שווה למכפלה: ננ אי-הופעת אות היא מאורע משלים להופעתה של האות. לכן הסיכוי של אי-הופעתה של האות "נ" לדוגמה, שווה ל- נ ג) יש שתי אפשרויות: א) האות מופיעה בסיבוב הראשון ולא מופיעה בשני; האות לא מופיעה בסיבוב הראשון ומופיעה בשני. המאורעות א) ו- הם מאורעות זרים (יכול להתרחש או א) או ב), ולא ביחד), לכן הסתברות המאורע המבוקש שווה לסכום שתי ההסתברויות: שניהם נ,( המאורע א) מורכב משניים: הופעת האות בסיבוב הראשון (הסיכוי = הסתברות

219 P ואי-הופעתה בסיבוב השני (ההסתברות = ). המאורעות הם בלתי-תלויים (מתרחשים יחד אחד לאחר השני), לכן הסיכוי שווה למכפלה: בדומה לכך, הסתברות המאורע שווה ל-: נחבר את ההסתברויות של שני המאורעות א) ו- ונקבל את ההסתברות שאות מסוימת (למשל "נ") תופיע בדיוק פעם אחת לאחר שני סיבובים שווה ל: נ ד) דרך א' כמו במקרה הקודם, המאורע מורכב משני מאורעות זרים: נ כאשר הוא הסיכוי של הופעת האות בסיבוב הראשון (ובסיבוב השני יכולה להופיע כל אות), ו- P הוא הסיכוי של הופעת האות בסיבוב השני (בסיבוב הראשון יכולה להופיע כל אות, מלבד האות המבוקשת שהופעתה נלקחה בחשבון של P). הסתברות המאורע שבו יכולה להופיע כל אות שווה ל- (כל מאורע הוא רצוי). לכן: חישוב של P: סיכוי הופעת האות הרצויה בסיבוב השני = ; סיכוי הופעת כל אות מלבד האות המבוקשת =. לכן:,וסיכוי הופעת האות לפחות פעם אחת הוא: נ תשובה: הסתברות

220 דרך ב' נמצא את ההסתברות שהאות לא תופיע ולוּ פעם אחת. הסיכוי לכך בסיבוב ראשון הוא: ( מאורעות רצויים מסך כל 4 האפשרויות). גם הסיכוי שהאות לא תופיע בסיבוב השני שווה ל-. שני המאורעות הם בלתי תלויים; לכן הסיכוי שהאות לא תופיע בשני הסיבובים הוא המכפלה: נ הסיכוי שהאות תופיע לפחות פעם אחת שווה להסתברות המאורע המשלים: ננ בדיוק, לפחות וככל היותר... כאשר מדובר על מאורעות חוזרים, כמו זריקת קוביית משחק, עולות שאלות גם לגבי סיכויי הופעתו של מספר מסוים, וגם לגבי סיכויי הופעתה מספר פעמים באותו משחק (המאגר, מס..(5,5,,,0,8 לדוגמה: הסתברות הופעת המספר על הפאה העליונה של קוביית משחק שווה ל- (תוצאה אחת רצויה מתוך 6 אפשרויות). מה ההסתברות שגם בזריקה הבאה יופיע? גם היא שווה ל- (מכיוון שתוצאת הזריקה אינה תלויה במספר שיצא לפניה המאורעות הם בלתי תלויים). מה הסיכוי שהמספר יופיע בשתי זריקות אחת אחרי השנייה? מכיוון שהמאורעות הם בלתי תלויים, המאורע המורכב הוא חיתוך של שניהם, וההסתברות שלו שווה למכפלת ההסתברויות: ואולם, ישנם מצבים, שלא רצוי לקבל "ד בּל" (,), אלא שמספר אחד יהיה והשני כל מספר אחר (כלומר, שמתוך שתי זריקות יופיע בדיוק פעם אחת). הסתברות 4 מה הסיכוי לכך?

221 בשפת תורת ההסתברות אפשר לומר שהמאורע הרצוי מורכב משני מאורעות בלתי תלויים: האחד הופעת המספר, והשני הופעת כל מספר מלבד המספר, כלומר אי-הופעה של. זהו מאורע משלים למאורע של הופעה של, לכן ההסתברות שלו שווה ל- והסתברות המאורע המורכב שווה למכפלה: דוגמה (המאגר, מס' 0) זורקים שני מטבעות. לכל מטבע צד אחד עם תמונה וצד אחד עם מספר. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהמטבעות יראה תמונה?.P(A) עלינו לחשב את ההסתברות A. נסמן את המאורע הנדרש ב- יש שני מאורעות רצויים: א. תמונה תופיע על מטבע ראשון ומספר יופיע על השני, ב. מספר יופיע על מטבע ראשון ותמונה על השני. שני המאורעות, א' ו- ב' הם זרים (לא יכולים להתרחש יחד), לכן המאורע הרצוי מהווה איחוד המאורעות א' ו- ב', וההסתברות של מאורע זה: אב הסתברות של מאורע א' שווה ל- א הסתברות המאורע ב' שווה ל- ב לכן ההסתברות המתבקשת של המאורע A שווה ל- הסתברות 5

222 דוגמה במשחק דומינו 8 אבנים שונות. על כל אבן רשומים שניים מבין המספרים 6. 5, 4,,,, 0, בוחרם באקראי אבן אחת. מה ההסתברות שבדיוק אחד המספרים הרשומים על האבן שבוחרים יהיה המספר? המספר מופיע על 7 האבנים בצירוף עם כל שבעת המספרים האפשריים. אולם על אחת מהן, :, המספר מופיע פעמיים. לכן, מספר המאורעות הרצויים הוא 6, וההסתברות המבוקשת שווה ל- הערה: מכיוון שכל המספרים מופיעים על אבני הדומינו אותו מספר פעמים (7),. ואחת האבנים היא דאבל, הסתברות הופעתו בדיוק פעם אחת של כל מספר היא דוגמה 4 מטילים שתי קוביות משחק שעליהן רשומים המספרים 6. 5, 4,,,, מה ההסתברות שלפחות על אחת מקוביות יופיע מספר אי-זוגי? קיימות כמה דרכים לפתור את הבעיה. דרך אחת היא דרך "ישרה": קיימות אפשרויות: מאורע A: על קובייה אחת מופיע מספר אי-זוגי, על השנייה זוגי; א. מאורע B: על קובייה אחת מופיע מספר זוגי, על השנייה אי-זוגי; ב. מאורע C: על שתי הקוביות מופיע מספר אי-זוגי. ג. מכיוון שמאורעות אלה הם מאורעות זרים (או זה, או זה, או זה), המאורע הרצוי וההסתברות המבוקשת שווה לסכום C, ו- B A, המאורעות איחוד מהווה.P = P(A) + P(B) + P(C) ההסתברויות: נחשב את הסתברויות המאורעות B A, ו- C, ונחבר אותן: P(A) =, P(B) =, P(C) =., P =. דרך שנייה קצרה יותר: נבנה את המאורע המשלים למאורע המבוקש: אם A מתאר מצב שבו לפחות על קובייה אחת יופיע מספר אי-זוגי, אז הוא המאורע שבו על אף קובייה לא יופיע הסתברות 6

223 מספר אי-זוגי, כלומר, על שתי הקוביות בו-זמנית יופיע מספר זוגי. מכיוון שיש מספרים זוגיים מתוך 6 מספרים סה"כ (, 4 ו- 6), הסתברות ההופעה של מספר זוגי על קובייה אחת שווה ל-, הסתברות ההופעה של מספר זוגי על שתי קוביות יחד שווה ל- (חיתוך הסתברויות), לכן הסתברות המאורע המבוקש שווה, על-פי התכונה של מאורע משלים, ל- תשובה: מטילים קוביית משחק פעמיים. תרגילים א) מה הסיכוי שתחילה יופיע המספר 6 ולאחר מכן? מה הסיכוי שתחילה יופיע המספר ולאחר מכן 6? ג) מה הסיכוי שבסיכום שתי ההטלות יופיע הצירוף 6:? מטילים שתי קוביות משחק בו-זמנית. א) מה הסיכוי שיופיע הצירוף,? מה הסיכוי שיופיע הצירוף,? ג) מה הסיכוי שיופיע הצירוף 6,6? מסובבים סביבון פעמיים: א) מה הסיכוי שהאות נ תופיע פעמיים? מה הסיכוי שהאות ג לא תופיע אפילו פעם אחת? ג) מה הסיכוי שהאות ה תופיע בדיוק פעם אחת? ד) מה הסיכוי שהאות פ תופיע לפחות פעם אחת? מה, לדעתכם, שכיח יותר (הסתברות גבוהה יותר) במשפחה של ארבעה ילדים: שני בנים ושתי בנות או שלושה מהמין האחד ואחד מהמין השני?....4 הסתברות 7

224 א) בארץ מסוימת החליטו שכל אישה תפסיק ללדת אחרי הבן הראשון שייוולד לה. איך זה ישפיע, לדעתכם, על יחס המינים באוכלוסייה? מטילים קובייה ובו בזמן מסובבים סביבון שפאותיו מסומנות בספרות עד 4. מה הסיכוי שהקובייה והסביבון י ראו את אותה הספרה? מה הסיכוי שהספרה שיראה הסביבון תהייה קטנה מזו שמראה הקובייה? תשובות א) ד) ג) 0 א) ה) ד) ג) ו) ה) ד) ג) ו) 5 5 א) 0 א) 0 ( א. 6 5 ג) ד) א) ג) ד) א) 0.97.%..4 הסתברות 8

225 הדרכה: 5. ביניהן. בחנו את כל המערכת של אבני הדומינו ומצאו, כמה "ד בּלים" יש תשובה:....5 א) א) 6. הדרכה: ח שבו תחילה את ההסתברות של מאורע משלים. ג) א). א) ג) ג) ג) הדרכה: יש שתי אפשרויות: הופעה בפעם הראשונה ואי-הופעה בפעם שנייה, ולהפך. תשובה: ד) הדרכה: ח שבו מה ההסתברות שהאות לא תופיע ולו פעם אחת? תשובה: לא ישפיע. א) הסתברות 9